证明：
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴$\frac{AC}{BC}=\frac{BC}{CD}$，
∵AC=4，CD=2，
∴$BC^2=AC · CD=4 × 2=8$，
∴$BC=2\sqrt{2}$（负值舍去）.
B

证明：在$△ ADC$和$△ BDE$中，
$\because ∠ C = ∠ E$，$∠ ADC = ∠ BDE$，
$\therefore △ ADC ∼ △ BDE$。
$\therefore \frac{AD}{BD} = \frac{DC}{DE}$。
$\because AD = 4$，$BD = 5$，$DC = 3$，
$\therefore \frac{4}{5} = \frac{3}{DE}$，
解得$DE = \frac{15}{4}$。
$\frac{15}{4}$

在$Rt△ BCD$中，$BC=5$，$CD=3$，由勾股定理得$BD=\sqrt{BC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=4$。
因为$∠ ACB=90^{\circ}$，$CD⊥ AB$，所以$△ ACD∼△ CBD$，则$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，即$CD^{2}=AD· BD$。
已知$CD=3$，$BD=4$，所以$3^{2}=AD×4$，解得$AD=\frac{9}{4}=2.25$。
A

（1）∵DE⊥AB，∴∠ADE=∠FDB=90°。
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°。
在Rt△ADE中，∠A+∠E=90°，∴∠E=∠B。
∴△ADE∽△FDB（两角分别相等的两个三角形相似）。
（2）由（1）知△ADE∽△FDB，∴AD/FD=DE/DB，即AD·DB=DE·DF。
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，∴AD=DB=CD。
∴AD·DB=CD·CD=CD²，∴CD²=DE·DF。