6. “冰墩墩”和“雪容融”作为第 24 届北京冬奥会和残奥会的吉祥物深受大家喜爱。某文旅店订购“冰墩墩”花费 6000 元,订购“雪容融”花费 3200 元,其中“冰墩墩”的订购单价比“雪容融”的订购单价多 20 元,并且订购“冰墩墩”的数量是“雪容融”的 1.25 倍。
(1)求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量分别是多少个；(请列分式方程作答)
(2)该文旅店以 100 元和 80 元的单价销售“冰墩墩”和“雪容融”,在“冰墩墩”售出 $\frac{3}{4}$,“雪容融”售出 $\frac{1}{2}$ 后,文旅店为了尽快回笼资金,决定对剩余的“冰墩墩”每个打 $ a $ 折销售,对剩余的“雪容融”每个降价 $ 2a $ 元销售,很快全部售完。若要保证文旅店总利润不低于 6060 元,求 $ a $ 的最小值。
答案：$(1)$ 求文旅店订购“冰墩墩”和“雪容融”的数量
设文旅店订购“雪容融”$x$个，则订购“冰墩墩”$1.25x$个。
根据“冰墩墩”的订 购单价比“雪容融”的订购单价多$20$元，可列方程：
$\dfrac{6000}{1.25x}-\dfrac{3200}{x}=20$
解这个方程：
方程两边同时乘以$1.25x$得：
$6000 - 3200×1.25=20×1.25x$
$6000 - 4000 = 25x$
$2000 = 25x$
解得$x = 80$。
经检验，当$x = 80$时，$1.25x=1.25×80 = 100\neq0$，$x = 80\neq0$，所以$x = 80$是原分式方程的解。
则$1.25x=1.25×80 = 100$（个）。
所以文旅店订购“冰墩墩”$100$个，“雪容融”$80$个。
$(2)$ 求$a$的最小值
“冰墩墩”的进价为$6000÷100 = 60$（元/个），“雪容融”的进价为$3200÷80 = 40$（元/个）。
“冰墩墩”售出$\dfrac{3}{4}×100 = 75$个，剩余$100 - 75 = 25$个；“雪容融”售出$\dfrac{1}{2}×80 = 40$个，剩余$80 - 40 = 40$个。
根据总利润不低于$6060$元列不等式：
$75×(100 - 60)+25×(100×0.1a - 60)+40×(80 - 40)+40×(80 - 2a - 40)\geqslant6060$
化简不等式：
$75×40+25×(10a - 60)+40×40+40×(40 - 2a)\geqslant6060$
$3000 + 250a - 1500+1600 + 1600 - 80a\geqslant6060$
$(250a - 80a)+(3000 - 1500+1600 + 1600)\geqslant6060$
$170a+4700\geqslant6060$
$170a\geqslant6060 - 4700$
$170a\geqslant1360$
$a\geqslant8$
所以$a$的最小值为$8$。
综上，答案依次为：$(1)$ “冰墩墩”$100$个，“雪容融”$80$个；$(2)$ $8$。
某工厂计划在规定时间内生产 24000 个零件。若每天比原计划多生产 30 个零件,则在规定时间内可以多生产 300 个零件。
(1)求原计划每天生产的零件个数和规定的天数；
(2)为了提前完成生产任务,工厂在安排原有工人按原计划生产的同时,引进 5 组机器人生产流水线共同参与零件生产,已知每组机器人生产流水线每天生产零件的个数比 20 个工人计划每天生产的零件总数还多 20%。按此测算,恰好提前两天完成 24000 个零件的生产任务,求原计划安排的工人人数。
答案：
(1)设原计划每天生产零件x个，由题意得24000/x=(24000+300)/(x+30)，解得x=2400，经检验，x=2400是原方程的解，且符合题意.
∴规定的天数为24000÷2400=10（天）. 答：原计划每天生产零件2400个，规定的天数是10天.
(2)设原计划安排的工人人数为y人，由题意得[5×20×(1+20%)×(2400/y)+2400]×(10-2)=24000，解得y=480. 经检验，y=480是原方程的解，且符合题意. 答：原计划安排的工人人数为480人
