3. 一项工程,甲、乙两公司合做,12 天可以完成,共需付工费 102000 元；如果甲、乙两公司单独完成此项工程,乙公司所用时间是甲公司的 1.5 倍,乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少 1500 元。
(1)甲、乙两公司单独完成此项工程,各需多少天？
(2)若让一个公司单独完成这项工程,哪个公司的施工费较少？
答案：$(1)$ 求甲、乙两公司单独完成此项工程各需多少天
设甲公司单独完成此项工程需$x$天，则乙公司单独完成此项工程需$1.5x$天。
把这项工程的工作量看作单位“$1$”，根据工作效率$=$工作量$÷$工作时间，可得甲公司的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙公司的工作效率为$\frac{1}{1.5x}$。
已知甲、乙两公司合做，$12$天可以完成，根据工作总量$=$工作时间$×$（甲工作效率$+$乙工作效率），可列方程：
$12(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x}) = 1$
解这个方程：
$\begin{aligned}12(\frac{1}{x}+\frac{1}{1.5x})&=1\\12(\frac{1.5}{1.5x}+\frac{1}{1.5x})&=1\\12×\frac{1.5 + 1}{1.5x}&=1\\12×\frac{2.5}{1.5x}&=1\\frac{30}{1.5x}&=1\\1.5x&=30\\x&=20\end{aligned}$
经检验，$x = 20$是原方程的解，且符合题意。
则乙公司单独完成此项工程需要的时间为：$1.5x = 1.5×20 = 30$（天）
所以，甲公司单独完成此项工程需$20$天，乙公司单独完成此项工程需$30$天。
$(2)$ 比较哪个公司的施工费较少
设甲公司每天的施工费为$y$元，则乙公司每天的施工费为$(y - 1500)$元。
根据甲、乙两公司合做$12$天共需付工费$102000$元，可列方程：
$12(y + y - 1500) = 102000$
解这个方程：
$\begin{aligned}12(y + y - 1500)&=102000\\12(2y - 1500)&=102000\\2y - 1500&=102000÷12\\2y - 1500&=8500\\2y&=8500 + 1500\\2y&=10000\\y&=5000\end{aligned}$
则乙公司每天的施工费为：$y - 1500 = 5000 - 1500 = 3500$（元）
甲公司单独完成这项工程的施工费为：$20×5000 = 100000$（元）
乙公司单独完成这项工程的施工费为：$30×3500 = 105000$（元）
因为$100000\lt105000$，所以甲公司的施工费较少。
综上，答案为：$(1)$甲公司$20$天，乙公司$30$天；$(2)$甲公司。
问题 某学校 2024 年在某商场购买了甲、乙两种不同的足球,购买甲种足球共花费 2000 元,购买乙种足球共花费 1400 元,购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的 2 倍,且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元。
(1)求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
(2)2025 年为响应“足球进校园”的号召,这所学校决定再次购买甲、乙两种足球共 50 个。恰逢该商场对两种足球的售价进行调整,甲种足球售价比第一次购买时提高了 10%,乙种足球售价比第一次购买时降低了 10%。如果此次购买甲、乙两种足球的总费用不超过 2900 元,那么这所学校最多可购买多少个乙种足球？
名师指导
(1)设购买一个甲种足球需 $ x $ 元,则购买一个乙种足球需 $ (x + 20) $ 元,根据购买甲种足球的数量是购买乙种足球数量的 2 倍,列出分式方程解答即可；
(2)设此次可购买 $ y $ 个乙种足球,则购进甲种足球 $ (50 - y) $ 个,根据购买两种品牌足球的总费用不超过 2900 元,列出不等式解决问题。
解题示范(学生在教师指导下,独立完成)
解：
答案：(1)设购买一个甲种足球需$x$元，则购买一个乙种足球需$(x + 20)$元。根据题意，得$\frac{2000}{x}=2×\frac{1400}{x + 20}$，解得$x = 50$。经检验，$x = 50$是原方程的解，且符合题意。则$x + 20=70$。
(2)设购买$y$个乙种足球，则购买$(50 - y)$个甲种足球。甲种足球调整后单价为$50×(1 + 10\%)=55$元，乙种足球调整后单价为$70×(1 - 10\%)=63$元。根据题意，得$55(50 - y)+63y\leq2900$，解得$y\leq18.75$。因为$y$为正整数，所以$y$最大值为$18$。
(1)购买一个甲种足球需50元，一个乙种足球需70元；(2)最多可购买18个乙种足球。
