多项式各项系数的最大公约数是9，相同字母$a$的最低次幂是$a^{2}$，相同字母$x$的最低次幂是$x^{2}$，所以公因式是$9a^{2}x^{2}$。
B.

$m^{2}(a - 2)+m(2 - a)$
$=m^{2}(a - 2)-m(a - 2)$
$=m(a - 2)(m - 1)$
C.

由题意得，长方形周长为 $2(a + b) = 10$，则 $a + b = 5$；面积为 $ab = 6$。
$a^3b + ab^3 = ab(a^2 + b^2)$，
又 $a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 5^2 - 2×6 = 25 - 12 = 13$，
所以 $a^3b + ab^3 = 6×13 = 78$。
D.

平方差公式为$a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$，需满足两项式且两项符号相反、均为平方形式。
A选项$x^{2}+y^{2}$两项符号相同，不符合；
B选项$x^{3}-y^{2}$中$x^{3}$不是平方项，不符合；
C选项$-x^{2}+y^{2}=y^{2}-x^{2}$，是两项式，符号相反且均为平方项，符合；
D选项$-x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})$两项符号相同，不符合。
C

完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab + b^2$。
选项A：$x^2 + x + 1$，中间项$x$不是$2× x×1$，不符合完全平方公式。
选项B：$x^2 + 2x - 1$，常数项为$-1$，不符合完全平方公式中常数项为正的要求。
选项C：$x^2 - 1$，是平方差形式，不符合完全平方公式。
选项D：$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2× x×3 + 3^2=(x - 3)^2$，符合完全平方公式。
D

因为$x^{2}+(m - 3)x + 4$是完全平方式，所以$x^{2}+(m - 3)x + 4=(x\pm2)^{2}$。
当$x^{2}+(m - 3)x + 4=(x + 2)^{2}$时，$(x + 2)^{2}=x^{2}+4x + 4$，则$m - 3=4$，解得$m=7$。
当$x^{2}+(m - 3)x + 4=(x - 2)^{2}$时，$(x - 2)^{2}=x^{2}-4x + 4$，则$m - 3=-4$，解得$m=-1$。
综上，$m$的值是7或$-1$。
D.

$\begin{aligned}\frac{1}{2}x^{2}-xy+\frac{1}{2}y^{2}&=\frac{1}{2}(x^{2}-2xy+y^{2})\\&=\frac{1}{2}(x - y)^{2}\\\because x - y&=-4\\\therefore 原式&=\frac{1}{2}×(-4)^{2}\\&=\frac{1}{2}×16\\&=8\end{aligned}$
C

① $x^{2}-10x + 25=(x-5)^{2}$，能用完全平方公式分解因式；
② $4a^{2}+4a - 1$，$4a^{2}=(2a)^{2}$，$-1$不是平方项，不能用完全平方公式分解因式；
③ $x^{2}-2x - 1$，$-1$不是平方项，不能用完全平方公式分解因式；
④ $-m^{2}+m-\frac{1}{4}=-(m^{2}-m+\frac{1}{4})=-(m-\frac{1}{2})^{2}$，能用完全平方公式分解因式；
⑤ $4x^{4}-x^{2}+\frac{1}{4}$，$(2x^{2})^{2}=4x^{4}$，$(\frac{1}{2})^{2}=\frac{1}{4}$，中间项应为$\pm 2× 2x^{2}× \frac{1}{2}=\pm 2x^{2}$，原式中间项是$-x^{2}$，不能用完全平方公式分解因式；
不能用完全平方公式分解因式的有②③⑤，共3个。
C.

已知$a - b = 4$，则$(a - b)^2 = 16$，即$a^2 - 2ab + b^2 = 16$，可得$a^2 + b^2 = 16 + 2ab$。
因为$ab + c^2 = -4$，所以$c^2 = -4 - ab$。
则$a^2 + b^2 + c^2 = (16 + 2ab) + (-4 - ab) = 12 + ab$。
所以$\frac{ab}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{ab}{12 + ab}$。
由$c^2 = -4 - ab \geq 0$，得$ab \leq -4$。
又因为$a^2 + b^2 = 16 + 2ab \geq 0$，即$ab \geq -8$，但结合$c^2$非负，$ab = -4 - c^2$，当$c = 0$时，$ab = -4$。
将$ab = -4$代入$\frac{ab}{12 + ab}$，得$\frac{-4}{12 + (-4)} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2}$。
B.