6. 如图,$\odot O$的直径 AB 为 10 cm,弦 AC 为 6 cm,$∠ACB的平分线交\odot O$于点 D.求 BC、AD、BD 的长.
答案：解：∵ AB为⊙O的直径∴ ∠ACB=∠ADB=90°
在Rt△ABC中，∵ AC=6cm，AB=10cm
∴$ BC={\sqrt {{AB}^{2}-{AC}^{2}}}=8cm$
∵ CD平分∠ACB∴ ∠ACD=∠BCD
∴$ {\widehat{AD}}={\widehat{BD}}$∴ AD=BD
在Rt△ABD中，∵ AD=BD
∴$ AB={\sqrt {{AD}^{2}+{BD}^{2}}}={\sqrt {2}}AD$
∵ AB=10cm
∴$ AD=BD=5\sqrt {2}cm$
解析：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°。
在Rt△ABC中，AB=10cm，AC=6cm，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$cm。
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∴$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$，
∴AD=BD。
在Rt△ADB中，AD=BD，AB=10cm，
设AD=BD=x，由勾股定理得：$AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}$，
即$x^{2}+x^{2}=10^{2}$，
解得$x=5\sqrt{2}$，
∴AD=BD=$5\sqrt{2}$cm。
综上，BC=8cm，AD=BD=$5\sqrt{2}$cm。
7. 如图,AB 为$\odot O$的直径,点 C 在$\odot O$上,延长 BC 到点 D,使$DC= CB$,延长 DA 交$\odot O$于点 E,连接 AC、CE.
(1) 求证:$CD= CE;$
(2) 若$AB= 4,BC-AC= 2$,求 CE 的长.
答案：证明:(1) ∵AB为$\odot O$直径
∴∠ACB=∠ACD=90°
在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC( SAS )
∴∠D=∠B.∵∠B=∠E∴∠D=∠E
∴CD=CE
( 2 ) 解：设BC=x，则AC=x-2
在Rt△ABC中，由勾股定理可知，
$AB^2=AC^2+BC^2$
∵AB=4，BC=x，AC=x-2
∴$4^2=( x-2 ) ^2+x^2$
解得，$x_1=1+\sqrt{7}\text{，}$
$x_2=1-\sqrt{7}( $不合题意，舍去 )
∴$BC=1+\sqrt{7}$
∵BC=CD=CE
∴$CE=1+\sqrt{7}. $
8. 如图,在平面直角坐标系中,$\odot C$过原点,并与坐标轴分别交于点 A、D,$∠OBA= 30^{\circ }$,点 D 的坐标为$(0,3)$,则点 A、C 的坐标分别为
$(－\sqrt{3}，0)$
,
$(－\frac {\sqrt{3}}{2}，\frac {3}{2})$
.
答案：$(－\sqrt{3}，$0)
$(－\frac {\sqrt{3}}{2}，$$\frac {3}{2})$
解析：
连接AD，
∵∠AOD=90°，
∴AD为⊙C的直径，
∵点D的坐标为(0,3)，
∴OD=3，
∵∠OBA=30°，∠OBA=∠ODA，
∴∠ODA=30°，
在Rt△AOD中，tan∠ODA=$\frac{OA}{OD}$，
即tan30°=$\frac{OA}{3}$，
$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{OA}{3}$，
OA=$\sqrt{3}$，
∵点A在x轴负半轴，
∴点A的坐标为(-$\sqrt{3}$,0)，
∵AD为直径，点A(-$\sqrt{3}$,0)，点D(0,3)，
∴点C为AD中点，
C点横坐标为$\frac{-\sqrt{3}+0}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
C点纵坐标为$\frac{0+3}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∴点C的坐标为(-$\frac{\sqrt{3}}{2}$,$\frac{3}{2}$)
$(-\sqrt{3},0)$,$\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2},\dfrac{3}{2}\right)$
9. 如图,在$Rt\triangle ABC$中,$AB⊥BC,AB= 6,BC= 4$,P 是$\triangle ABC$内的一个动点,且满足$∠PAB= ∠PBC$,则线段 CP 长的最小值为(
B
)
A.$\frac {3}{2}$
B.2
C.$\frac {8\sqrt {13}}{13}$
D.$\frac {12\sqrt {13}}{13}$
答案：B
解析：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，即∠ABP+∠PBC=90°．
∵∠PAB=∠PBC，
∴∠BAP+∠ABP=90°，
∴∠APB=90°．
∴点P在以AB为直径的圆上．设AB中点为O，AB=6，则OA=OB=3，⊙O半径r=3．
连接OC，在Rt△OBC中，OB=3，BC=4，
∴OC=$\sqrt{OB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$．
∵点P在⊙O上，
∴CP≥OC-r=5-3=2．
∴线段CP长的最小值为2．
B
