6. 已知 A、B 两点间的距离是 2 cm.
(1) 画半径为 1.5 cm 的圆,使它经过 A、B 两点,这样的圆能画几个?
(2) 过 A、B 两点的所有圆中,是否存在最小圆和最大圆? 若存在,请指出它们圆心的位置和半径的大小.
答案： 解：(1)半径为$1.5\ \mathrm {cm}$的圆，使它经过A、B两点，
这样的圆能画2个，
(2)过A、B两点的所有圆的圆心都在线段AB的垂直平分线上，
由于垂足到点A和B的距离最小，
所以过A、B两点的所有圆中，存在最小圆，
最小圆的圆心为AB的中点，
半径为$\frac {1}{2}AB；$
由于AB的垂直平分线上点到A点的最大值不能确定，
所以不存在最大圆.
7. 已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AB= AC= 5,BC= 6.求⊙O 的半径.
答案：解：作$AD⊥BC，$垂足为$D，$连接$OC$
∵$ AD⊥BC，$$AB=AC$
∴$ D$为$BC$中点，$AD$垂直平分$BC$
∵$ OB=OC$
∴$ O$在$BC$的垂直平分线上，即$O$在$AD$上
∵$ BC=6，$$D$为$BC$中点
∴$ CD=BD=3$
在$Rt△ACD$中，
∵$ AC=5，$$CD=3$
∴$ AD={\sqrt {{AC}^{2}-{CD}^{2}}}=4$
设$OA=OC=x，$则$OD=4-x$
在$Rt△OCD$中，
∵$ OC^2=OD^2+CD^2$
∴$ {x}^{2}={(4-x)}^{2}+{3}^{2}$
解得，$x=\frac {25} 8 $
∴$ ⊙O$的半径是$\frac {25} 8 $
解析：
过点$A$作$AD \perp BC$于点$D$，连接$OB$，设$\odot O$的半径为$r$。
因为$AB = AC = 5$，所以$\triangle ABC$是等腰三角形，$AD$垂直平分$BC$，则$BD=\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3$。
在$Rt\triangle ABD$中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
设$OD = x$，则$AO = AD - OD = 4 - x$，又因为$AO = OB = r$，所以$OB = r = 4 - x$，即$x = 4 - r$。
在$Rt\triangle OBD$中，$OB^{2}=BD^{2}+OD^{2}$，即$r^{2}=3^{2}+x^{2}$，将$x = 4 - r$代入得：
$r^{2}=9+(4 - r)^{2}$
$r^{2}=9 + 16 - 8r + r^{2}$
$0 = 25 - 8r$
$8r = 25$
$r=\frac{25}{8}$
$\odot O$的半径为$\frac{25}{8}$。
8. 如图,小明家屋前有一块空地,在空地上的点 A、B、C 处种有三棵树,小明想在空地上建一个圆形花坛,使这三棵树都在花坛的边上.
(1) 请你帮小明把花坛的位置画出来(用直尺和圆规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2) 若 AB= 8 m,AC= 6 m,∠BAC= 90°,求小明家圆形花坛的面积.
答案：
(2)∵∠BAC=90°，
∴BC是⊙O的直径.
∵AB=8m，AC=6m，
∴BC=10m，
∴△ABC外接圆的半径为5m，
∴$S_{⊙O}=πr^2=π×5^2=25π(\ \mathrm {m^2})，$
∴小明家圆形花坛的面积为$25π\ \mathrm {m^2}．$
解析：
（1）作图痕迹为$\triangle ABC$的外接圆。
（2）在$Rt\triangle ABC$中，$\angle BAC=90^\circ$，$AB=8\ m$，$AC=6\ m$，根据勾股定理，$BC=\sqrt{AB^2 + AC^2}=\sqrt{8^2 + 6^2}=\sqrt{64 + 36}=\sqrt{100}=10\ m$。
因为直角三角形的外接圆直径是斜边，所以外接圆半径$r=\frac{BC}{2}=\frac{10}{2}=5\ m$。
圆形花坛的面积$S=\pi r^2=\pi×5^2=25\pi\ m^2$。
