10. 关于x的方程$(x-1)(x+2)= p^{2}$(p为常数)的根的情况,下列结论正确的是(
C
)
A.有两个正根
B.有两个负根
C.有一个正根,一个负根
D.无实数根
答案：C
解析：
将方程$(x - 1)(x + 2) = p^2$展开得：$x^2 + x - 2 - p^2 = 0$。
计算判别式$\Delta = 1^2 - 4×1×(-2 - p^2) = 1 + 8 + 4p^2 = 9 + 4p^2$。
因为$p^2 \geq 0$，所以$\Delta = 9 + 4p^2 ＞ 0$，方程有两个不相等的实数根。
设方程两根为$x_1$，$x_2$，由韦达定理得$x_1x_2 = -2 - p^2$。
因为$p^2 \geq 0$，所以$-2 - p^2 ＜ 0$，即两根之积为负，方程有一个正根，一个负根。
C
11. 已知斜边为10的直角三角形的两条直角边a、b为关于x的方程$x^{2}-mx+3m+6= 0$的两个根.
(1)求m的值; (2)求这个直角三角形的面积和斜边上的高.
答案： 解：(1)由题意得，
a+b=m，ab=3m+6
由勾股定理，$a^2+b^2=10^2，$
∴$(a+b)^2-2ab=100$
即$\ \mathrm {m^2}-2(3m+6)=100$
解得$m_1=14，$$m_2=-8($舍去)
∴m=14
(2)这个直角三角形的面积为$\frac 12ab=\frac 12×(3×14+6)=24$
斜边上的高为$\frac {24}{\frac 12×10}=4.8$
例1 将一根长20 cm的铁丝剪成两段,以每一段铁丝的长度为周长制成一个正方形.
(1)要使这两个正方形的面积之和等于$17 cm^2,$这根铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于$12 cm^2$吗？若能,求出两段铁丝的长度；若不能,请说明理由.
答案： 解：设其中一个正方形边长为$x\ \mathrm {cm}，$则另一个正方形的边长为$(5-x)\ \mathrm {cm}.$
(1)依题意得，$x^2+(5-x)^2=17$
解得，$x_1=1，$$x_2=4$
答：这两段铁丝的长度为$4\ \mathrm {cm}$和$16\ \mathrm {cm}.$
解：(2)不能，理由如下：
假设两个正方形的面积之和等于$12\ \mathrm {cm^2}，$
则$x^2+(5-x)^2=12$
整理，得$2x^2-10x+13=0$
$(-10)^2-4×2 ×13= -4\lt 0，$
原方程无实数根
∴两个正方形的面积之和不可能等于$12\ \mathrm {cm^2}. $
