答案：
解：$\left( 1 \right) $连接$PD，$$PC.\ $　　

∵$OA、$$OB$都为$\odot P$的切线$\ $　　
∴$∠ODP=∠OCP=90°\ $　　
∵$∠AOB=60°\ $　　
∴$∠DPC=360°-90°-90°-60°=120° $　　　
∵$\odot P$的半径为$3\,\,cm\ $　　
∴劣弧$CD$的长为　　
$\frac{120\pi ×3}{180}=2\pi \,\,cm\ $　　
解：$\left( 2 \right) $分两种情况$∶$　　
$①$点$P$在$∠AOB$内，连接$PE,PC,CP$的延　　
长线$ $与直线$OF$交于点$N，$$ $　　
过点$P$作$PM⊥EF,$垂足为点$M，$　　
如图$1\ $　　

∵$EF=4\sqrt{2}\,\,cm，$$PM⊥EF\ $　　
∴$EM=\frac{1}{2}EF=2\sqrt{2}\,\,cm\ $　　
在$Rt△EPM$中，　　
∵$PE=3\,\,cm，$$EM=2\sqrt{2}\,\,cm\ $　　
∴$PM=\sqrt{PE^2-EM^2}=1\,\,cm\ $　　
∵$∠AOB=60°,∠OCP=90°\ $　　
∴$∠ONC=30°\ $　　
在$Rt△MNP$中$,$　　
∵$∠ONC=30°，$$PM=1\,\,cm\ $　　
∴$PN=2PM=2\,\,cm\ $　　
∵$\odot O$的半径为$3\,\,cm\ $　　
∴$CN=CP+PN=3\,\,cm+2\,\,cm=5\,\,cm$　　
$\ $在$Rt△OCN$中，　　
∵$∠ONC=30°,\ CN=5\,\,cm\ $　　
∴$OC=\frac{CN}{\sqrt{3}}=\frac{5\sqrt{3}}{3}\,\,cm\ $　　
$②$点$P$在$∠AOB$外，　　
连接$PF，$$PC，$$PC$与$EF$交于点$N,\ $　　
过点$P$作$PM⊥EF，$垂足为点$M，$如图$2$　　
$\ $　　
由$①$可知，　　
$PM=1\,\,cm，$$∠PNM=30°，$　　
$PN=2\,\,cm\ $　　
∵$PC=3\,\,cm\ $　　
∴$CN=PC-PN=1\,\,cm\ $　　
在$Rt△OCN$中，　　
∵$∠ONC=30°，$$CN=1\,\,cm\ $　　
∴$OC=\frac{CN}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\,\,cm$　　
$\ $综上所述，$OC$的长为$\frac{5\sqrt{3}}{3}\,\,cm$或$\frac{\sqrt{3}}{3}\ cm. $　　

答案：
16
30°


解：(2)①如图①，连接PH，过点P作PE⊥BC于点E，
∵⊙P与线段BD相切于点B，∴∠PBD=90°，
∴∠CBP=60°，∵$PB=\sqrt{3}，$
∴$BE=\frac {\sqrt{3}}{2}，$∵PB=PH，
∴∠BPH=60°，$BH=\sqrt{3}，$
∴$S_{扇形PBH}=\frac {60π(\sqrt{3})^2}{360}=\frac {1}{2}π，$
$S_{△PBH}=\frac {3\sqrt{3}}{4}，$
∴⊙P与矩形ABCD重叠部分的面积为$\frac {1}{2}π-\frac {3\sqrt{3}}{4}.$
②如图②，当AP⊥BD时，AP有最小值，∵$AD=8\sqrt{3}，$∠ADB=30°，
∴$AM=4\sqrt{3}，$∴AP的最小值为$5\sqrt{3}$
解：(3)①如图③，
当点P在△BOC内时，

∵⊙P与AC、BD相切，
∴∠BOP=60°，∴OM=1，
∴BM=7.
如图④，

当点P在△DOC内时，
∵⊙P与AC、BD相切，
∴∠DOP=30°，∴OM=3，
∴BM=11.
②BP+PN的最小值为$5\sqrt{3} $