1. 判断题(正确的打“√”,错误的打“×”)：
(1)无理数是开方开不尽的数；(
×
)
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$是分数；(
×
)
(3)无限小数都是无理数；(
×
)
(4)实数可分为正实数和负实数；(
×
)
(5)带根号的都是无理数；(
×
)
(6)实数与数轴上的点一一对应.(
√
)
答案：(1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)×
(6)√
解析：
(1)无理数的定义是不能表示为两个整数的比值的数，且是无限不循环小数。而开方开不尽的数只是无理数的一种情况，例如$\sqrt{2}$。但无理数不仅仅限于开方开不尽的数，例如π也是无理数，但不是通过开方得到的。所以此命题是错误的。
(2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$虽然形式上看似分数，但分子中的$\sqrt{2}$是无理数，所以整体也是无理数，并非传统意义上的分数（两个整数的比）。所以此命题是错误的。
(3)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数。其中，只有无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数。所以此命题是错误的。
(4)实数实际上可分为正实数、零和负实数。题目中遗漏了零，所以此命题是错误的。
(5)并非所有带根号的数都是无理数，例如$\sqrt{4}=2$是一个有理数。只有开方后得到无限不循环小数的才是无理数。所以此命题是错误的。
(6)根据实数与数轴的基本性质，实数与数轴上的点是一一对应的。所以此命题是正确的。
2. 已知下列实数：①π,②$\frac{\sqrt{3}}{2}$,③$0.\dot{2}\dot{3}$,④$\frac{22}{7}$,⑤$\sqrt{8}$,⑥$-\sqrt{9}$,⑦0.1010010001…(两个1之间依次增加一个0),将正确的序号填入下列括号里：
(1)属于无理数的是
①②⑤⑦
；(2)属于分数的是
③④
.
答案：(1)①②⑤⑦；(2)③④
解析：
(1)无理数是无限不循环小数。①π是无限不循环小数；②$\frac{\sqrt{3}}{2}$，因为$\sqrt{3}$是无理数，所以其与2的商是无理数；⑤$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是无理数，故$\sqrt{8}$是无理数；⑦0.1010010001…是无限不循环小数。所以无理数是①②⑤⑦。
(2)分数是有理数的一种，包括有限小数和无限循环小数。③$0.\dot{2}\dot{3}$是无限循环小数，属于分数；④$\frac{22}{7}$是分数；⑥$-\sqrt{9}=-3$是整数，不是分数。所以分数是③④。
3. 找出下列各数中的无理数,并在数轴上用点将它们表示出来：
$\sqrt{4}$,$-\frac{1}{3}$,$\sqrt{2}$,3.1212,$-π$,$-\sqrt{3}+1$
答案：$\sqrt{4}=2$，是有理数；
$-\frac{1}{3}$是有理数；
$\sqrt{2}$是无理数；
$3.1212$是有理数；
$-π$是无理数；
$-\sqrt{3}+1$是无理数。
在数轴上表示：
$\sqrt{2}\approx1.414$，在$1$和$2$之间靠近$1.4$的位置点上点；
$-π\approx - 3.14$，在$-3$和$-4$之间靠近$-3.1$的位置点上点；
$-\sqrt{3}+1\approx - 1.732 + 1=-0.732$，在$-1$和$0$之间靠近$-0.7$的位置点上点。
4. 找出一个有理数m,使$\sqrt{3}＜m＜2$.
答案：因为$\sqrt{3}\approx1.732$，所以大于$\sqrt{3}$且小于$2$的有理数可以是$1.8$（答案不唯一）。
$m = 1.8$（或其他符合条件的有理数，如$\frac{9}{5}$等）
1. 写出一个小于1的正无理数：
$\frac{\sqrt{2}}{2}$（答案不唯一）
.
答案：$\frac{\sqrt{2}}{2}$（答案不唯一）
解析：
考虑常见的无理数，如$\sqrt{2}$，$\pi$等，由于$\sqrt{2} \approx 1.414$，它大于1，不满足题目要求。
而$\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{0.5}\approx 0.707$，这是一个小于1的正无理数，因为它等于$\sqrt{0.5}$，0.5不是一个完全平方数，所以$\sqrt{0.5}$是无理数。
同理，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\pi}{4}$等也都是满足条件的小于1的正无理数，答案不唯一。
这里选择$\frac{\sqrt{2}}{2}$作为答案。
2. 如图,实数$\sqrt{2}$在数轴上的对应点可能是
B
.
答案：B
解析：
由于$\sqrt{2}\approx1.414$，
观察数轴可知，点$B$在$1$和$2$之间且更靠近$1.5$，符合$\sqrt{2}$的位置。
3. 观察图①,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分(正方形)的面积是
10
,边长是
√10
；
(2)在图②的数轴上作出边长的对应点P(要求保留作图痕迹)；
图略（保留作图痕迹）
(3)在图②的数轴上将表示1的点记为M,点N也在这条数轴上且MN= MP,直接写出点N表示的数.
√10或2 - √10
答案：(1)10；√10
(2)图略（保留作图痕迹）
(3)√10或2 - √10
