2. 如图,在△ABC中,AB= AC= 8,AD是底边上的高,E是AC的中点,则DE=
4
.
答案：4
解析：
在△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，所以AD⊥BC，∠ADC=90°（等腰三角形三线合一）。在Rt△ADC中，E是AC的中点，所以DE=1/2AC（直角三角形斜边中线等于斜边一半）。因为AC=8，所以DE=1/2×8=4。
3. 如图,等边三角形ABC的边长为3,点D在边BC上,且BD= 1,AD与BE相交于点P,若∠APE= 60°,则CE的长为______
1
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答案：1
解析：
∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC=3，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°．
∵∠APE=60°，∠BAC=60°，在△APE中，∠PAE+∠PEA=180°-∠APE=120°；在△ABE中，∠ABE+∠AEB=180°-∠BAC=120°．
∵∠PEA=∠AEB（公共角），∴∠PAE=∠ABE，即∠CAD=∠ABE．
在△ABE和△CAD中，∠ABE=∠CAD，AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，∴△ABE≌△CAD（ASA）．
∴AE=CD．∵CD=BC-BD=3-1=2，∴AE=2，∴CE=AC-AE=3-2=1．
4. 如图,点D,E在△ABC的边BC上,AD= AE,BD= CE.试说明△ABC是等腰三角形.
答案：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED（等边对等角）。
∵∠ADE+∠ADB=180°，∠AED+∠AEC=180°，
∴∠ADB=∠AEC（等角的补角相等）。
在△ABD和△ACE中，
∵AD=AE，∠ADB=∠AEC，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE（SAS）。
∴AB=AC（全等三角形对应边相等）。
∴△ABC是等腰三角形。
5. 如图,BD= DC,DE⊥BC,交∠BAC的平分线于点E,EM⊥AB,EN⊥AC,垂足分别为M,N.求证：BM= CN.
答案：连接EB，EC。
∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，
∴EM=EN（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵BD=DC，DE⊥BC，
∴DE垂直平分BC，
∴EB=EC（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
在Rt△EMB和Rt△ENC中，
∵EB=EC，EM=EN，
∴Rt△EMB≌Rt△ENC（HL），
∴BM=CN。
1. 在Rt△ABC中,∠C= 90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,若CD= 4,则点D到AB的距离是
4
.
答案：4
解析：
1. 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，已知$\angle C=90^\circ$，$AD$平分$\angle BAC$，交$BC$于点$D$，且$CD=4$。
2. 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3. 因此，点$D$到$AB$的距离等于点$D$到$AC$的距离。
4. 已知$CD$垂直于$AC$，所以$CD$的长度即为点$D$到$AC$的距离。
5. 所以点$D$到$AB$的距离等于$CD$的长度，即$4$。
2. 如图,AB= AC,∠BAC= 120°,AB的垂直平分线交BC于点D,则∠ADC=
60
°.
答案：60
解析：
因为$AB = AC$，$\angle BAC=120^{\circ}$，根据等腰三角形两底角相等以及三角形内角和为$180^{\circ}$，可得$\angle B=\angle C=\frac{180^{\circ}-\angle BAC}{2}=\frac{180 - 120}{2}=30^{\circ}$。
因为$DE$是$AB$的垂直平分线（$DE$为图中垂直$AB$的直线），所以$DA = DB$，那么$\angle B=\angle BAD = 30^{\circ}$。
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在$\triangle ABD$中，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$，所以$\angle ADC = 30^{\circ}+30^{\circ}=60^{\circ}$。
