2. 如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E,若∠DOP= 20°,则∠OPE=
70
°;若PD= 1,则PE=
1
.
答案：70；1
解析：
1. 由于OC平分∠AOB，且点P在OC上，因此∠AOP = ∠BOP。
2. PD垂直于OA，PE垂直于OB，因此∠PDO = ∠PEO = 90°。
3. 在△ODP和△OEP中，由于∠AOP = ∠BOP，∠PDO = ∠PEO = 90°，且OP是公共边，所以△ODP ≅ △OEP（AAS）。
4. 因此，PD = PE，且∠OPD = ∠OPE。
5. 已知∠DOP = 20°，所以∠OPE = 90° - ∠DOP = 90° - 20° = 70°。
6. 由于PD = 1，因此PE = 1。
3. 如图,OP平分∠MON,PA⊥ON,垂足为A,Q是射线OM上的一个动点,若PA= 2,则线段PQ的最小值为
2
.
答案：2
解析：
1. 由题意可知，OP平分∠MON，PA⊥ON，且PA=2。
2. 根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等，所以P到OM的距离等于PA，即2。
3. 因为Q是OM上的动点，PQ的长度会随着Q的位置变化而变化。
4. 当PQ垂直于OM时，PQ的长度最短，此时PQ的长度等于P到OM的距离，即2。
4. 如图,已知∠ABC,D是∠ABC的平分线上的一点,点E,F分别在AB,BC上,且DE= DF.试判断∠BED与∠BFD的关系,并说明理由.
答案：∠BED=∠BFD.
理由如下：
过点D作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N.
∵D是∠ABC平分线上的点，
∴DM=DN（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在Rt△DME和Rt△DNF中，
∵DE=DF，DM=DN，
∴Rt△DME≌Rt△DNF（HL）.
∴∠DEM=∠DFN.
∵DM⊥AB，DN⊥BC，
∴∠DEM=∠BED，∠DFN=∠BFD.
∴∠BED=∠BFD.
1. 如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.已知△ABC的面积为7,DE= 2,AB= 4,则AC的长是______
3
.
答案：3
解析：
因为$AD$是$\angle BAC$的平分线，$DE\perp AB$，$DF\perp AC$，根据角平分线的性质可知$DE = DF$。
已知$DE = 2$，所以$DF = 2$。
根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），$\triangle ABC$的面积$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ACD}$。
$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× DF$。
已知$S_{\triangle ABC}=7$，$AB = 4$，$DE = DF = 2$，则$\frac{1}{2}×4×2+\frac{1}{2}× AC×2=7$。
即$4 + AC=7$，解得$AC = 3$。
2. 已知:如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
求证:AD垂直平分EF.
答案：证明：
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°。
在△AED和△AFD中，
∠EAD=∠FAD（AD是角平分线），
∠AED=∠AFD，
AD=AD（公共边），
∴△AED≌△AFD（AAS）。
∴AE=AF，DE=DF。
∵AE=AF，
∴点A在EF的垂直平分线上（到线段两端距离相等的点在垂直平分线上）。
∵DE=DF，
∴点D在EF的垂直平分线上。
∵点A、D在EF的垂直平分线上，
∴AD垂直平分EF（两点确定一条直线）。
