23. (10分)如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,D是边AB上一点,过点D作$DE\perp BC$,垂足为E,交CA的延长线于点F.
(1) 求证:$AD= AF$;
(2) 若$\angle B= 2\angle F$,$BE= 2$,$CF= 16$,求BC的长.
答案：(1) 见解析；(2) 10。
解析：
(1) 证明：
∵AB=AC，∴∠B=∠C。
∵DE⊥BC，∴∠DEB=∠DEC=90°。
在Rt△DEB中，∠B+∠BDE=90°；在Rt△FEC中，∠C+∠F=90°。
∵∠B=∠C，∴∠BDE=∠F。
∵∠BDE=∠ADF（对顶角相等），∴∠ADF=∠F。
∴AD=AF。
(2) 设∠F=α，则∠B=2α。
由(1)知∠BDE=∠F=α，在Rt△DEB中，∠B+∠BDE=90°，即2α+α=90°，解得α=30°。
∴∠F=30°，∠B=60°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=60°，∴∠BAC=60°，△ABC为等腰三角形（AB=AC）。
设AB=AC=x，AD=AF=y，∵CF=AC+AF=16，∴x+y=16。
∵DB=AB-AD=x-y，在Rt△DEB中，∠B=60°，BE=2，cos∠B=BE/DB，即cos60°=2/DB，∴DB=4，即x-y=4。
联立{x+y=16, x-y=4}，解得x=10，y=6。
∵∠B=∠C=60°，∠DEB=∠FEC=90°，∴△DEB∽△FEC。
∴BE/EC=DB/FC，即2/EC=4/16，解得EC=8。
∴BC=BE+EC=2+8=10。
24. (10分)如图,$\angle ACB= 90^{\circ},AC= BC,BE\perp CE,AD\perp CE$,垂足分别为E,D,$AD= 2.5$,$DE= 1.7$,求BE的长.
答案：$\because\angle ACB=90^\circ,BE\perp CE,AD\perp CE$，
$\therefore \angle BEC=\angle CDA=90^\circ$，
$\angle BCE+\angle ACD=90^\circ,\angle CAD+\angle ACD=90^\circ$，
$\therefore \angle BCE=\angle CAD$。
在$\triangle BCE$和$\triangle CAD$中，
$\begin{cases}\angle BEC=\angle CDA,\\\angle BCE=\angle CAD,\\BC=AC.\end{cases}$
$\therefore \triangle BCE\cong\triangle CAD(AAS)$，
$\therefore BE=CD,CE=AD=2.5$，
$\therefore BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8$。
故答案为$0.8$。
