将点$P(a,2)$代入$y=x+1$得：$a+1=2$，解得$a=1$。
所以点$P$的坐标为$(1,2)$。
观察图象可知，当$x\geq 1$时，直线$y=x+1$落在直线$y=mx+n$上方，即$x+1\geq mx+n$。
所以不等式$x+1\geq mx+n$的解集为$x\geq 1$。

在$Rt\triangle ABC$中，$\angle A=30^\circ$，$\angle ACB=90^\circ$，$BC=2$，则$AB=4$（30°角所对直角边是斜边一半），$AC=2\sqrt{3}$（勾股定理）。
旋转后$CD=CB=2$，点$D$在$AB$上，$\triangle CBD$中$CB=CD=DB=2$（$DB=AB-AD=4-2=2$），故$\triangle CBD$为等边三角形，旋转角$n=\angle BCD=60^\circ$。
$\angle ACD=90^\circ-60^\circ=30^\circ$，在$\triangle DFC$中，$\angle FDC=60^\circ$（对应$\angle B$），$\angle DCF=30^\circ$，则$\angle DFC=90^\circ$。
$CD=2$，$DF=CD\cdot\sin30^\circ=1$，$CF=CD\cdot\cos30^\circ=\sqrt{3}$，阴影面积$S_{\triangle DFC}=\frac{1}{2}× DF× CF=\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

给定$x^{3} = -8$，根据立方根的定义，若$a^{3}=b$，则$a$是$b$的立方根，记作$a=\sqrt[3]{b}$。所以$x=\sqrt[3]{-8}$，因为$( - 2)^{3}=-8$，所以$x=-2$。

首先，需要确定$\sqrt{3}-2$的符号。
由于$\sqrt{3}$的值约等于1.732，小于2，所以$\sqrt{3}-2$的值小于0。
根据绝对值的定义，一个负数的绝对值等于它的相反数。
因此，$|\sqrt{3}-2|$等于$-(\sqrt{3}-2)$，即$2-\sqrt{3}$。

已知一个正数的两个平方根分别是 $2a-2$ 和 $a-4$，根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，即和为0。
所以有：
$2a - 2 + a - 4 = 0$
整理得：
$3a - 6 = 0$
进一步解得：
$a = 2$

由于点$A(a, -2)$和点$B(5, b)$关于$x$轴对称，根据对称性质，两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
因此，有$a = 5$，$b = -(-2) = 2$。
所以，$a + b = 5 + 2 = 7$。

1. 确定白棋①的坐标为$(-1, -2)$，白棋③的坐标为$(0, -4)$。
2. 观察棋盘，确定黑棋②的位置。
3. 根据棋盘上的位置，黑棋②位于白棋③的右上方一格，即横坐标增加1，纵坐标增加1。
4. 因此，黑棋②的坐标为$(0+1, -4+1) = (1, -3)$。

因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB=BC$，$\angle ABC=\angle C=60^\circ$。
又因为$BD=CE$，所以$\triangle ABD\cong\triangle BCE(SAS)$。
所以$\angle BAD=\angle CBE$。
因为$\angle APE$是$\triangle ABP$的外角，所以$\angle APE=\angle BAD+\angle ABE$。
所以$\angle APE=\angle CBE+\angle ABE=\angle ABC=60^\circ$。

要使筷子露出杯子外面的长度最短，则筷子在杯子内的长度应最长，即当筷子在杯内构成一个直角三角形的斜边时，其在杯内的长度最长。
设筷子在杯内的长度为$x$ cm，根据勾股定理，有：
$x^2 = 12^2 + 5^2$
$x^2 = 144 + 25$
$x^2 = 169$
解得：$x = 13$ （负值舍去，因为长度不能为负）
所以，筷子露出杯子外面的长度最短为：
$24 - 13 = 11$ cm

由表可知，当$x=1$时，$y=0$，即$ax+b=0$，所以方程$ax+b=0$的解是$x=1$。