7. 我国宋朝时期的数学家杨辉,曾将大小完全相同的圆柱形木桩逐层堆积,形成“三角垛”,顶层记为第1层,有1根圆木桩;前2层有3根圆木桩;前3层有6根圆木桩,往下依次是前4层,前5层,…,如图给出了前4层.若用$a_{n}$表示前n层的圆木桩数目,其中$n= 1,2,3,... ,则\frac {1}{a_{1}}+\frac {1}{a_{2}}+\frac {1}{a_{3}}+... +\frac {1}{a_{16}}$的值是 (
B
)
A.$\frac {2}{17}$
B.$\frac {32}{17}$
C.$\frac {16}{17}$
D.$\frac {17}{32}$
解析：
解：由题意得，$a_{1}=1$，$a_{2}=3=1+2$，$a_{3}=6=1+2+3$，$a_{4}=10=1+2+3+4$，...，
所以$a_{n}=1+2+3+\dots +n=\frac{n(n+1)}{2}$。
则$\frac{1}{a_{n}}=\frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。
$\frac{1}{a_{1}}+\frac{1}{a_{2}}+\dots +\frac{1}{a_{16}}=2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\dots +\left(\frac{1}{16}-\frac{1}{17}\right)\right]$
$=2\left(1-\frac{1}{17}\right)=2×\frac{16}{17}=\frac{32}{17}$。
答案：B
