14. 定义:$f(a,b)是关于a,b$的多项式,如果$f(a,b)= f(b,a)$,那么$f(a,b)$叫作“对称多项式”。例如,如果$f(a,b)= a^{2}+a + b + b^{2}$,那么$f(b,a)= b^{2}+b + a + a^{2}$,显然$f(a,b)= f(b,a)$,所以$f(a,b)$是“对称多项式”。
(1)试说明:$f(a,b)= a^{2}-2ab + b^{2}$是“对称多项式”;
(2)请写出一个“对称多项式”,$f(a,b)= $
$a + b$
;(不多于四项)
(3)如果$f_{1}(a,b)和f_{2}(a,b)$均为“对称多项式”,那么$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)$一定是“对称多项式”吗?如果是,说明理由;如果不是,举例说明。
(1)解:因为$f(a,b)=a^{2}-2ab + b^{2}$,所以$f(b,a)=b^{2}-2ba + a^{2},$
显然$f(a,b)=f(b,a)$,所以$f(a,b)=a^{2}-2ab + b^{2}$是“对称多项式”.
(3)解:不一定.当$f_{1}(a,b)=a + b,f_{2}(a,b)=-a - b$时,
$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)=0$,此时$f_{1}(a,b)+f_{2}(a,b)$是单项式,不是多项式.