8. (2025·扬州高邮期末)数学活动：
(1)如图(1),将两块直角三角尺的直角顶点 C 重合在一起,∠ACB= ∠DCH= 90°.
①若∠ACH= 25°,则∠BCD=
155
°；
②猜想：∠ACH 与∠BCD 之间的数量关系,并说明理由.
∠ACH+∠BCD=180°.理由如下：∵∠ACB=∠DCH=90°，∴∠ACH+∠BCD=∠ACH+∠BCH+∠DCH=∠ACB+∠DCH=90°+90°=180°.
(2)如图(2),将两块相同的含 60°角的直角三角尺的顶点 A 重合在一起,∠CAB= ∠EAF= 60°,直接写出∠CAF 与∠EAB 之间的数量关系为
∠CAF+∠EAB=120°
.
(3)如图(3),将两个相同的直角三角形卡纸的相等的锐角顶点 A 重合在一起,∠CAB= ∠EAF= n°,直接写出∠CAF 与∠EAB 之间的数量关系为
∠CAF+∠EAB=2n°
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答案：
(1)①155 [解析] 由题意,∠ACB=∠DCH=90°.
∵∠ACH=25°,
∴∠DCA=∠DCH-∠ACH=65°,
∴∠BCD=∠DCA+∠ACB=155°,即∠BCD=155°.
②∠ACH+∠BCD=180°.理由如下:
∵∠ACB=∠DCH=90°,
∴∠ACH+∠BCD=∠ACH+∠BCH+∠DCH=∠ACB+∠DCH=90°+90°=180°.
(2)∠CAF+∠EAB=120° [解析] 由题意,得∠CAB=∠EAF=60°.
∵∠CAF=∠CAE+∠EAF,
∴∠CAF+∠EAB=∠CAE+∠EAF+∠EAB=∠EAF+∠CAB=60°+60°=120°,即∠CAF与∠EAB之间的数量关系为∠CAF+∠EAB=120°.
(3)∠CAF+∠EAB=2n° [解析] 由题意,得∠CAB=∠EAF=n°.
∵∠CAF=∠CAE+∠EAF,
∴∠CAF+∠EAB=∠CAE+∠EAF+∠EAB=∠EAF+∠CAB=n°+n°=2n°,
∴∠CAF与∠EAB之间的数量关系为∠CAF+∠EAB=2n°.
9. (2025·浙江台州临海期末)一副三角尺按如图方式叠放,∠DFE= 90°,∠BAC= 60°,点 A,F 重合. 为探索∠CAE 与∠BAD 的关系,某研究小组甲、乙、丙三位同学先假设∠CAE= 30°,求得∠BAD= 60°,于是三位同学得出不同猜想,甲：∠BAD= 2∠CAE；乙：∠CAE+∠BAD= 90°；丙：∠BAD-∠CAE= 30°.
(1)为验证猜想,他们再次假设∠CAE= 25°,并求出∠BAD 的度数. 请写出求解过程.
假设∠CAE=25°,∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60°-25°=35°.∵∠DFE=90°,∴∠BAD=∠DFE-∠BAE=90°-35°=55°.
(2)①根据题(1)的结果,猜想一定错误的两位同学是______.
甲、乙
②剩下这位同学的猜想正确吗？请说明理由.
丙同学的猜想正确,理由如下:设∠CAE=α,∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60°-α.∵∠DFE=90°,∴∠BAD=∠DFE-∠BAE=90°-(60°-α)=30°+α,∴∠BAD-∠CAE=30°+α-α=30°,∴丙同学的猜想正确.
答案：
(1)假设∠CAE=25°,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60°-25°=35°.
∵∠DFE=90°,
∴∠BAD=∠DFE-∠BAE=90°-35°=55°.
(2)①甲、乙 [解析] 在
(1)中,
∵∠CAE=25°,∠BAD=55°,
∴∠BAD≠2∠CAE,∠CAE+∠BAD=25°+55°=80°,
∴甲、乙两位同学的猜想一定错误.
②丙同学的猜想正确,理由如下:设∠CAE=α,
∵∠BAC=60°,
∴∠BAE=∠BAC-∠CAE=60°-α.
∵∠DFE=90°,
∴∠BAD=∠DFE-∠BAE=90°-(60°-α)=30°+α,
∴∠BAD-∠CAE=30°+α-α=30°,
∴丙同学的猜想正确.
