12. 如图(1),两个体积相同的圆柱形铁块A和B,圆柱A的底面半径为2厘米,高为20厘米,且比圆柱B高$\frac{1}{4}$. (π取3)
(1)求圆柱B的底面积是多少平方厘米.
(2)如图(2),一个底面长8厘米,宽6厘米的长方体水箱里有一些水,将圆柱A和B立放于水箱里,水面恰好与圆柱A高度相同,求将圆柱A,B放入之前水面的高度是多少厘米.
(3)若要使水面下降至与圆柱B高度相同,需将圆柱A提起多少厘米？
答案：
(1)设B的底面半径为r厘米,B的高为20÷(1+$\frac{1}{4}$)=16(厘米).
∵A与B体积相同,
∴π×2²×20=π×r²×16,解得r²=5.
∵π=3,
∴B的底面积=πr²=15平方厘米.
故圆柱B的底面积是15平方厘米.
(2)V总=8×6×20=960(立方厘米),
由Vₐ=Vᵦ,
则Vₐ+Vᵦ=2Vᵦ=15×16×2=480(立方厘米),
故V之前=V总-2Vᵦ=480(立方厘米),
则之前高度为$\frac{480}{6×8}$=10(厘米).
故放入圆柱A,B之前的水面高度为10厘米.
(3)当水面与B等高时,V水箱=8×6×16=768(cm³),
∴相较于水面高度等于圆柱A高度时的体积相差V=960-768=192(立方厘米),
∴需将A提起的高度为$\frac{V}{S_{A底面积}}$=$\frac{192}{π×2²}$=16(厘米).
故需要将圆柱A提起16厘米.
13. 数学文化 欧拉公式 欧拉为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、物理、建筑、航海等领域都做出了杰出的贡献. 他对多面体做过研究,发现多面体的顶点数V、棱数E、面数F之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式.
请你观察下列几种简单多面体模型,解答下列问题：
四面体 长方体 八面体 正十二面体
(1)根据上面多面体模型,完成表格中的空格：
| 多面体 | 顶点数(V) | 面数(F) | 棱数(E) |
| 四面体 | 4 | 4 |
6
|
| 长方体 | 8 | 6 | 12 |
| 八面体 |
6
| 8 | 12 |
| 十二面体 | 20 | 12 | 30 |
你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是
V+F-E=2
.
(2)一个多面体的面数比顶点数大8,且有30条棱,则这个多面体的面数是
20
.
(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体,它的外表面由三角形和八边形两种多边形拼接而成,且有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,设该多面体外表面三角形的个数为x个,八边形的个数为y个,求x+y的值.
∵有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,∴共有24×3÷2=36(条)棱.由(1)可知,24+F-36=2,解得F=14,∴x+y=14.
答案：
(1)表格补充如下:
多面体 顶点数(V) 面数(F) 棱数(E)
四面体 4 4 6
长方体 8 6 12
八面体 6 8 12
十二面体 20 12 30
V+F-E=2
(2)20 [解析]由题意,得F-8+F-30=2,解得F=20.
(3)
∵有24个顶点,每个顶点处都有3条棱,两点确定一条直线,
∴共有24×3÷2=36(条)棱.
由
(1)可知,24+F-36=2,解得F=14,
∴x+y=14.
x+y为该多面体的总面数
素养考向 本题以著名的欧拉公式为背景,把现实中抽象的多面体物体进行数学建模转化为数学知识来理解,主要培养学生的模型观念.
