【例1】甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒2米和每秒3米的速度跑步.6秒钟后,一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒6米的速度向甲跑,如此往返直至甲、乙第一次相遇,那么小狗共跑了______米.
解析：设甲、乙同学跑了x秒,则小狗跑了$(x - 6)$秒.
根据题意,得$2x + 3x = 400$,解得$x = 80$.
$80 - 6 = 74$(秒),$74 × 6 = 444$(米).
答案：
444
答案：解：设甲、乙同学从出发到第一次相遇共跑了$x$秒，则小狗跑了$(x - 6)$秒。
根据题意，得$2x + 3x = 400$，
解得$x = 80$。
小狗跑的时间为：$80 - 6 = 74$（秒），
小狗共跑的路程为：$74×6 = 444$（米）。
答案：444
【例2】某同学想用5个边长不等的正方形,拼成如图所示的大正方形.请问该同学的想法能实现吗？如果能实现,试求这5个正方形的边长；如果不能,请说明理由.
解析：此类“是否可行”的问题,通常假设所述的想法能实现,然后列出方程,检验方程的解是否符合题意,如果方程的解符合题意,那么假设成立,即该想法能实现；如果方程没有解或者方程的解不符合题意,那么假设不成立,即该想法不能实现.
答案：不能实现.理由如下：
假设能够实现,不妨设中间小正方形的边长为$x(x ＞ 0)$,左下角的正方形的边长为$y(y ＞ 0)$,则左上角的正方形的边长为$(y - x)$,右上角的正方形的边长为$(y - 2x)$,于是有右下角的正方形的边长为$(y - 3x)或(y + x)$.
所以$y - 3x = y + x$,于是$4x = 0$,得$x = 0$,与$x ＞ 0$矛盾,所以该同学的想法不能实现.
答案：【解析】：
本题考查的是利用列方程来解决实际问题。
假设能够实现，设中间小正方形的边长为$x(x ＞ 0)$，左下角的正方形的边长为$y(y ＞ 0)$。
根据正方形的边长关系，则左上角的正方形的边长为$(y - x)$，右上角的正方形的边长为$(y - 2x)$。
所以右下角的正方形的边长为$(y - 3x)$或$(y + x)$。
由于大正方形的边长相等，则有：$y - 3x = y + x$，
移项可得：$4x = 0$，
解得：$x = 0$。
这与$x ＞ 0$矛盾，所以该同学的想法不能实现。
【答案】：
不能实现。理由如下：
假设能够实现，设中间小正方形的边长为$x(x ＞ 0)$，左下角的正方形的边长为$y(y ＞ 0)$，
则左上角的正方形的边长为$(y - x)$，右上角的正方形的边长为$(y - 2x)$，
于是有右下角的正方形的边长为$(y - 3x)$或$(y + x)$。
所以$y - 3x = y + x$，
于是$4x = 0$，
得$x = 0$，
与$x ＞ 0$矛盾，
所以该同学的想法不能实现。
1. 关于x的方程$ax + b = 0$的解的情况如下：当$a \neq 0$时,方程有唯一解$x = -\frac{b}{a}$；当$a = 0$,$b \neq 0$时,方程无解；当$a = 0$,$b = 0$时,方程有无数解.若关于x的方程$mx + \frac{2}{3} = \frac{n}{3} - x$有无数解,则$m + n$的值为(
B
).
A.-1
B.1
C.2
D.以上答案都不对
答案：B [解析]方程整理,得$(m + 1)x + \frac{2}{3} - \frac{n}{3} = 0$,因为关于x的方程有无数解,所以$m + 1 = 0$,$\frac{2}{3} - \frac{n}{3} = 0$,解得$m = -1$,$n = 2$,所以$m + n = -1 + 2 = 1$.故选B.
2. 某列从永川到重庆的火车,包括起始和终点在内共有5个停靠站,小王乘坐这趟列车从永川到重庆,一路上小王在他乘坐的车厢内观测到下列情况：①在起始站(第一站)以后每一站都有车厢内人数(包括小王)的一半人下车；②又有下车人数的一半人上这节车厢；③到第五站(终点站)包括小王在内还有27人.那么起始站上车的人数是______
64
.
答案：64 [解析]设起始站上车的人数是x人.根据题意得$(\frac{3}{4})^{3}x = 27$,解得$x = 64$.则起始站上车的人数是64.
解析：
设起始站上车的人数是$x$人。从起始站（第一站）到第五站（终点站），中间经过第二、三、四站，共3次上下车。
在第二站：下车人数为$\frac{x}{2}$，上车人数为$\frac{1}{2} × \frac{x}{2} = \frac{x}{4}$，此时人数为$x - \frac{x}{2} + \frac{x}{4} = \frac{3x}{4}$。
在第三站：下车人数为$\frac{1}{2} × \frac{3x}{4} = \frac{3x}{8}$，上车人数为$\frac{1}{2} × \frac{3x}{8} = \frac{3x}{16}$，此时人数为$\frac{3x}{4} - \frac{3x}{8} + \frac{3x}{16} = \left(\frac{3}{4}\right)^2 x$。
在第四站：下车人数为$\frac{1}{2} × \left(\frac{3}{4}\right)^2 x = \frac{9x}{32}$，上车人数为$\frac{1}{2} × \frac{9x}{32} = \frac{9x}{64}$，此时人数为$\left(\frac{3}{4}\right)^2 x - \frac{9x}{32} + \frac{9x}{64} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 x$。
已知到第五站还有27人，所以$\left(\frac{3}{4}\right)^3 x = 27$，即$\frac{27}{64}x = 27$，解得$x = 64$。
64
3. 老师带着两个学生到离学校33千米的博物馆参观.老师骑一辆摩托车,速度为25千米/时,这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米/时,如果学生步行,那么速度为5千米/时.请你设计一种方案,使得师生3人同时出发后用3个小时同时到达博物馆.
答案：设计方案:学生乙先步行,老师骑摩托车带学生甲行驶一定路程,再让学生甲步行,老师返回接学生乙,然后老师带上学生乙,与学生甲同时到达博物馆即可.关键在确定摩托车中途接乙的返回点.
如图,设两个学生为甲、乙两人.学生乙先步行,老师带学生甲骑摩托车行了x千米,共用了$\frac{x}{20}$小时.他们比乙多行了$\frac{x}{20}(20 - 5) = \frac{3}{4}x$(千米).这时老师让甲步行前进,而自己返回接乙,中途遇到学生乙时,用了$\frac{3}{4}x÷(25 + 5) = \frac{x}{40}$(小时).当乙遇到老师时,已经步行了$(\frac{x}{20} + \frac{x}{40})×5 = \frac{3}{8}x$(千米),离博物馆还有$(33 - \frac{3}{8}x)$千米.若甲、乙两人搭乘摩托车的路程相同,则$x = 33 - \frac{3}{8}x$,解得$x = 24$.这样,在路上学生甲共计用的时间为$\frac{x}{20} + \frac{33 - x}{5} = \frac{24}{20} + \frac{9}{5} = 3$(小时),学生乙共计用的时间为$\frac{x}{20} + \frac{x}{40} + \frac{x}{20} = \frac{24}{8} = 3$(小时).因此,上述方案可使师生3人同时出发后用3小时同时到达博物馆.
