7. 已知$∠AOB= 30^{\circ }$,自$∠AOB$的顶点O引射线OC. 若$∠AOC:∠AOB= 4:3$,则$∠BOC$的度数是(
D
)
A.$10^{\circ }$
B.$40^{\circ }或30^{\circ }$
C.$70^{\circ }$
D.$10^{\circ }或70^{\circ }$
答案：D
解析：
已知$\angle AOB = 30^{\circ}$，$\angle AOC:\angle AOB = 4:3$，则$\angle AOC=\frac{4}{3}\angle AOB=\frac{4}{3}×30^{\circ}=40^{\circ}$。
情况一：射线$OC$在$\angle AOB$内部，$\angle BOC=\angle AOC - \angle AOB=40^{\circ}-30^{\circ}=10^{\circ}$。
情况二：射线$OC$在$\angle AOB$外部，$\angle BOC=\angle AOC + \angle AOB=40^{\circ}+30^{\circ}=70^{\circ}$。
$\angle BOC$的度数是$10^{\circ}$或$70^{\circ}$。
D
9. (2025·江苏南京期末)已知D为线段AC的中点,B为直线AC上的一点,且$BC= \frac {1}{2}AB$. 若$BD= 1$,则线段AC的长为( )
A.$\frac {2}{3}$
B.$\frac {3}{2}$
C.6或$\frac {2}{3}$
D.6或$\frac {3}{2}$
答案：C 解析:设 BC=x. 因为 BC=$\frac{1}{2}$AB,所以 AB=2BC=2x. 因为 BD=1,所以分类讨论如下:① 如图①,当点 B 在线段 AC 上时,AC=AB+BC=3x. 因为 D 为线段 AC 的中点,所以 AD=$\frac{1}{2}$AC=1.5x,所以 BD=AB-AD=0.5x,所以 0.5x=1,解得 x=2,所以 AC=6;② 如图②,当点 B 在线段 AC 的延长线上时,AC=AB-BC=x. 因为 D 为线段 AC 的中点,所以 CD=$\frac{1}{2}$AC=0.5x,所以 BD=BC+CD=1.5x,所以 1.5x=1,解得 x=$\frac{2}{3}$,所以 AC=$\frac{2}{3}$. 综上所述,线段 AC 的长为 6 或$\frac{2}{3}$.
10. 新素养 推理能力 如图,在长方形ABCD中,$AB:BC= 2:1,AB= 12cm$,点P从点A出发,沿边AB以2 cm/s的速度向点B运动,点Q从点D出发,沿边DA以1 cm/s的速度向点A运动. 假设P,Q两点同时出发,运动时间为$ts(0\lt t\lt 6)$. 在整个运动过程中,给出下列结论：① 图中共有11条线段；② 图中共有19个小于平角的角；③ 当$t= 2$时,$PB:BC= 4:3$；④ 四边形QAPC的面积为$36cm^{2}$. 其中正确的有(
D
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：D 解析:题图中线段有 AP,AB,PB,BC,CD,DQ,DA,AQ,PC,CQ,PQ,共 11 条,故①正确;图中小于平角的角有∠A,∠B,∠BCD,∠D,∠APQ,∠BPC,∠CPQ,∠APC,∠BPQ,∠BCP,∠PCQ,∠QCD,∠BCQ,∠PCD,∠CQD,∠PQC,∠AQP,∠AQC,∠PQD,共 19 个,故②正确;当 t=2 时,AP=2×2=4(cm). 因为 AB=12 cm,所以 PB=AB-AP=8 cm. 因为 AB:BC=2:1,所以 BC=$\frac{1}{2}$AB=6 cm,所以 PB:BC=4:3,故③正确;因为 PB=AB-AP=(12-2t)cm,DQ=t cm,所以四边形 QAPC 的面积为 12×6-$\frac{1}{2}$(12-2t)×6-$\frac{1}{2}$×12×t=72-36+6t-6t=36(cm²),故④正确. 综上所述,其中正确的结论有 4 个.
