1. 定义一种新运算：$T(x,y)= \frac {2x+y}{x+y}$,其中$x+y≠0$,比如：$T(2,5)= \frac {2×2+5}{2+5}= \frac {9}{7}$,则$T(1,2)+T(2,3)+... +T(100,101)+T(101,101)+T(101,100)+... +T(3,2)+T(2,1)$的值为(
B
)
A.$\frac {597}{2}$
B.$\frac {603}{2}$
C.300
D.303
答案：1.B 点拨:原式$=\frac {4}{3}+\frac {7}{5}+... +\frac {301}{201}+\frac {303}{202}+\frac {302}{201}+... +\frac {8}{5}+\frac {5}{3}=(\frac {4}{3}+\frac {5}{3})+(\frac {7}{5}+\frac {8}{5})+... +(\frac {301}{201}+\frac {302}{201})+\frac {303}{202}=3+3+... +3+\frac {3}{2}=300+\frac {3}{2}=\frac {603}{2}.$
2. 对于一个自然数 n,如果能找到正整数 x,y,使得$n= x+y+xy$,就称 n 为“好数”,例如：$3= 1+1+1×1$,则 3 是一个“好数”,在 8,9,10,11 这四个数中,是“好数”的是
8,9,11
.
答案：2.8,9,11 点拨:因为$8=2+2+2×2$,所以8是"好数".因为$9=1+4+1×4$,所以9是"好数".因为$11=2+3+2×3$,所以11是"好数".综上可得,在8,9,10,11这四个数中,"好数"有8,9,11.
解析：
解：因为$8 = 2 + 2 + 2×2$，所以8是“好数”；
因为$9 = 1 + 4 + 1×4$，所以9是“好数”；
因为$11 = 2 + 3 + 2×3$，所以11是“好数”；
10不能表示为$x + y + xy$（$x$，$y$为正整数）的形式。
故在8，9，10，11这四个数中，是“好数”的是8，9，11。
答案：8，9，11
3. 如图,数轴上两点 A,B 对应的数分别为 -8 和 4,P 为数轴上一动点,若规定：点 P 到点 A 的距离是点 P 到点 B 的距离的 3 倍时,我们就称点 P 是关于$A→B$的“广益点”.
(1) 若点 P 到点 A 的距离等于点 P 到点 B 的距离,则点 P 表示的数是
-2
；
(2) 若点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从原点开始向右运动,当点 P 是关于$A→B$的“广益点”时,求点 P 的运动时间；
解:设点 P 运动的时间为 t 秒,则$PA=t+8,PB=|t-4|,$因为点 P 是关于$A→B$的"广益点"，所以$t+8=3|t-4|,$所以$t+8=3(t-4)$或$t+8=3(4-t),$所以$t=10$或$t=1,$所以点 P 的运动时间为1秒或10秒.
(3) 若点 P 在原点的左边(即点 P 对应的数为负数),且点 P,A,B 中有一个点是关于其他两个点的“广益点”,请直接写出所有符合条件的点 P 表示的数.
-4,-5,-12,-14,-32,-44
答案：3.(1)-2 (2)解:设点 P 运动的时间为 t 秒,则$PA=t+8,PB=|t-4|,$因为点 P 是关于$A→B$的"广益点"，所以$t+8=3|t-4|,$所以$t+8=3(t-4)$或$t+8=3(4-t),$所以$t=10$或$t=1,$所以点 P 的运动时间为1秒或10秒. (3)解:设点 P 表示的数为 n,则$PA=n+8$或$PA=-8-n,PB=4-n,AB=12$,分6种情况讨论如下: ①当点 A 是关于$P→B$的"广益点"时,$AP=3AB,-8-n=36$或$n+8=36$,所以$n=-44$或$n=28$(舍去); ②当点 A 是关于$B→P$的"广益点"时,$AB=3AP,$$3(-8-n)=12$或$3(8+n)=12$,所以$n=-12$或$n=-4;$ ③当点 P 是关于$A→B$的"广益点"时,$PA=3PB,-8-n=3(4-n)$或$8+n=3(4-n)$,所以$n=10$(舍去)或$n=1$(舍去); ④当点 P 是关于$B→A$的"广益点"时,$PB=3PA,4-n=3(n+8)$或$4-n=3(-n-8)$,所以$n=-5$或$n=-14;$ ⑤当点 B 是关于$P→A$的"广益点"时,$PB=3AB,4-n=36$,所以$n=-32;$ ⑥当点 B 是关于$A→P$的"广益点"时,$AB=3PB$,即$3(4-n)=12$,所以$n=0$(舍去).综上,所有符合条件的点 P 表示的数为-4,-5,-12,-14,-32,-44.
解析：
(1) -2
(2) 解：设点 P 运动的时间为 t 秒，点 P 对应的数为 t。
则 $ PA = |t - (-8)| = t + 8 $，$ PB = |t - 4| $。
因为点 P 是关于 $ A→B $ 的“广益点”，所以 $ PA = 3PB $，即 $ t + 8 = 3|t - 4| $。
当 $ t \geq 4 $ 时，$ t + 8 = 3(t - 4) $，解得 $ t = 10 $；
当 $ t ＜ 4 $ 时，$ t + 8 = 3(4 - t) $，解得 $ t = 1 $。
所以点 P 的运动时间为 1 秒或 10 秒。
(3) -4，-5，-12，-14，-32，-44
