1. (2024·宿城期中)如图, 三张正方形纸片①,②,③分别置于长$(a + b)$,宽$(a + c)$的长方形中,正方形①,②,③的边长分别是$a,b,c$,且$a ＞ b ＞ c$,则阴影部分周长为 (
A
)
A.$4a + 2c$
B.$4a + 2b$
C.$4a$
D.$4a + 2b + 2c$
答案：A
解析：
由图可知，长方形的长为$(a + b)$，宽为$(a + c)$，正方形①边长为$a$，②边长为$b$，③边长为$c$。
阴影部分水平方向的边长：长方形的长减去正方形①的边长，即$(a + b)-a = b$；长方形的长减去正方形②和③的边长之和，即$(a + b)-(b + c)=a - c$。水平方向总长度为$b+(a - c)+b+(a - c)=2a + 2b-2c$。
阴影部分竖直方向的边长：长方形的宽减去正方形①的边长，即$(a + c)-a = c$；长方形的宽减去正方形③的边长，即$(a + c)-c = a$；正方形①的边长减去正方形②的边长，即$a - b$；正方形②的边长减去正方形③的边长，即$b - c$。竖直方向总长度为$c + a+(a - b)+(b - c)=2a$。
阴影部分周长为水平方向总长度与竖直方向总长度之和：$(2a + 2b-2c)+2a=4a + 2b-2c$。
经重新分析，阴影部分通过平移，水平方向总长度为$2a$，竖直方向总长度为$2a$，周长为$4a$。
C
2. 图①是长为$a$,宽为$b(a ＞ b)$的小长方形纸片,将 6 张小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在大长方形$ABCD$内,已知$CD$的长度固定不变,$BC$的长度可以变化,图中阴影部分(即两个长方形)的面积分别表示为$S_1和S_2$. 若$S = S_1 - S_2$,且$S$为定值,则$a,b$满足的关系是 (
A
)
A.$a = 2b$
B.$a = 3b$
C.$a = 4b$
D.$a = 5b$
答案：A
解析：
设大长方形$ABCD$的$BC$边长为$x$。
由图②可知：
$S_1$的长为$a$，宽为$x - 2b$，则$S_1 = a(x - 2b)$；
$S_2$的长为$2b$，宽为$x - a$，则$S_2 = 2b(x - a)$。
$S = S_1 - S_2 = a(x - 2b) - 2b(x - a)$
$= ax - 2ab - 2bx + 2ab$
$= (a - 2b)x$
因为$S$为定值，与$x$无关，所以$a - 2b = 0$，即$a = 2b$。
A
3. 如图,四边形$ABCD和四边形ECGF$都是正方形,边长分别为$a$和 6,点$D在边EC$上.
(1)求阴影部分的面积;(用含$a$的整式表示)
(2)当$a = 4$时,计算阴影部分的面积.
答案：3.解:
(1)阴影部分的面积为
$a^{2}+6^{2}-\frac{1}{2}a^{2}-\frac{1}{2}(a+6)×6=\frac{1}{2}a^{2}-3a+18$.
(2)当$a = 4$时,
$\frac{1}{2}a^{2}-3a+18=\frac{1}{2}×4^{2}-3×4+18=8-12+18=14$.
4. 暑假期间,某游泳馆针对学生推出两种优惠活动,活动内容如下:
活动一:购买一张 30 元优惠卡,每次仅需 5 元;
活动二:不购买优惠卡,凭学生证,每次需 7 元;
若某学生暑假期间游泳$x$次,按活动一、活动二分别花费$m$元,$n$元.
(1)请你用含$x的代数式表示m,n$;
(2)小明计划暑假期间游泳 25 次,你认为选择哪种活动比较合算?
答案：4.解:
(1)根据题意,得
$m=30+5x$,
$n=7x$.
(2)把$x=25$代入,得$m=30+5×25=30+125=155$,
$n=7×25=175$,
因为$155＜175$,
所以选择活动一比较合算.
