1. 若关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{1}{x - 2} + \frac{a - 2}{2 - x} = 1 $ 的解为正数,则 $ a $ 的取值范围为(
D
)
A.$ a ＜ 1 $
B.$ a ＜ 5 $
C.$ a ＜ 1 $ 且 $ a \neq -1 $
D.$ a ＜ 5 $ 且 $ a \neq 3 $
答案：D
解析：
方程两边同乘$x - 2$，得$1 - (a - 2) = x - 2$，
化简得$1 - a + 2 = x - 2$，即$x = 5 - a$。
因为方程的解为正数，所以$5 - a ＞ 0$，解得$a ＜ 5$。
又因为分母不能为$0$，即$x - 2 \neq 0$，所以$5 - a - 2 \neq 0$，解得$a \neq 3$。
综上，$a$的取值范围为$a ＜ 5$且$a \neq 3$。
D
2. 定义一种运算“$\otimes$”：$ a \otimes b = \frac{b}{a - b}(a \neq b) $,如 $ 1 \otimes 3 = \frac{3}{1 - 3} = -\frac{3}{2} $,则方程 $ 2 \otimes x = \frac{1}{x - 2} + 1 $ 的解是(
B
)
A.$ x = -1 $
B.$ x = \frac{1}{2} $
C.$ x = \frac{3}{2} $
D.$ x = 2 $
答案：B
解析：
由题意得，$2 \otimes x = \frac{x}{2 - x}$，
方程可化为：$\frac{x}{2 - x} = \frac{1}{x - 2} + 1$，
方程两边同乘$x - 2$得：$-x = 1 + (x - 2)$，
$-x = 1 + x - 2$，
$-x - x = 1 - 2$，
$-2x = -1$，
$x = \frac{1}{2}$，
经检验，$x = \frac{1}{2}$是原方程的解。
B
3. (2024 春·雁塔区月考)已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{m}{x + 3} $ 无解,则 $ m $ 的值是(
C
)
A.$ m = -3 $
B.$ m = -2 $
C.$ m = -1 $
D.$ m = 0 $
答案：C
解析：
方程两边同乘$(x + 3)$，得$x + 2 = m$。
因为原分式方程无解，所以最简公分母$x + 3 = 0$，即$x = -3$。
将$x = -3$代入$x + 2 = m$，得$m = -3 + 2 = -1$。
C
4. 解下列方程：
(1) $ \frac{2x}{x - 1} - 1 = \frac{4}{x - 1} $； (2) $ \frac{x}{2x - 5} = 1 - \frac{5}{5 - 2x} $；
(3) $ \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x - 2} = \frac{3}{x - 3} $； (4) $ \frac{1}{x^2 + 5x - 6} = \frac{1}{x^2 + x + 6} $。
答案：解:
(1)方程两边乘x-1,得2x-x+1=4,
解得x=3.
检验:当x=3时,x-1≠0.
∴原分式方程的解为x=3.
(2)方程两边乘2x-5,得x=2x-5+5,
解得x=0.
检验:当x=0时,2x-5≠0.
∴原分式方程的解为x=0.
(3)方程两边乘(x-1)(x-2)(x-3),得
(x-2)(x-3)+2(x-1)(x-3)=3(x-1)(x-2),
解得x=$\frac{3}{2}$.
检验:当x=$\frac{3}{2}$时,(x-1)(x-2)(x-3)≠0.
∴原分式方程的解为x=$\frac{3}{2}$.
(4)方程两边乘(x²+5x-6)(x²+x+6),得
x²+x+6=x²+5x-6,解得x=3.
检验:当x=3时,(x²+5x-6)(x²+x+6)≠0.
∴原分式方程的解为x=3.
5. 已知关于 $ x $ 的分式方程 $ \frac{x}{x - 1} - 2 = \frac{m}{1 - x} $。
(1) 当 $ m = 1 $ 时,求方程的解；
(2) 若方程的解为非负数,求 $ m $ 的取值范围。
答案：解:
(1)当m=1时,$\frac{x}{x-1}-2=\frac{1}{1-x}$,
即$\frac{x}{x-1}-\frac{1}{1-x}=2$.
方程两边乘x-1,得x+1=2(x-1),解得x=3.
检验:当x=3时,x-1≠0.
∴原分式方程的解为x=3.
(2)方程变形为$\frac{x}{x-1}+\frac{m}{x-1}=2$.
方程两边乘x-1,得x+m=2(x-1),解得x=m+2.
∵分式方程有解且解为非负数,
∴x≠1且x≥0,
即m+2≠1且m+2≥0,解得m≥-2且m≠-1.
6. 若分式方程 $ \frac{1}{x - 2} - \frac{1 + k}{2 - x} = 1 $ 无解,则 $ k $ 的值为(
B
)
A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案：B
解析：
方程两边同乘$x - 2$得：$1 + (1 + k) = x - 2$，化简得$x = 4 + k$。
因为分式方程无解，所以$x - 2 = 0$，即$x = 2$。
将$x = 2$代入$x = 4 + k$，得$2 = 4 + k$，解得$k = -2$。
B
