1. 若分式$\frac {x^{2}+1}{x - 1}□\frac {2x}{x - 1}$的运算结果为$x - 1$,则在“$□$”中添加的运算符号为(
B
)
A.$+$
B.$-$
C.$×$
D.$÷$
答案：B
解析：
当添加“$-$”时，$\frac{x^2 + 1}{x - 1} - \frac{2x}{x - 1} = \frac{x^2 + 1 - 2x}{x - 1} = \frac{(x - 1)^2}{x - 1} = x - 1$，结果为$x - 1$。
B
2. 计算：
(1)$\frac {x^{2}-1}{x + 2}÷(x + 1)$；
(2)$\frac {m^{2}-9}{m^{2}+6m + 9}÷(1-\frac {m}{m + 3})$；
(3)$1-\frac {a - 2}{a}÷\frac {a^{2}-4}{a^{2}+a}$；
(4)$\frac {m}{m^{2}-1}÷\frac {m^{2}-m}{m^{2}-2m + 1}$.
答案：解:
(1)原式=$\frac{(x+1)(x-1)}{x+2}\cdot\frac{1}{x+1}=\frac{x-1}{x+2}$.
(2)原式=$\frac{(m+3)(m-3)}{(m+3)^2}÷\frac{m+3-m}{m+3}=\frac{m-3}{m+3}\cdot\frac{m+3}{3}=\frac{m-3}{3}$.
(3)原式$=1-\frac{a-2}{a}÷\frac{(a+2)(a-2)}{a(a+1)}=1-\frac{a-2}{a}\cdot\frac{a(a+1)}{(a+2)(a-2)}=1-\frac{a+1}{a+2}=\frac{a+2-(a+1)}{a+2}=\frac{1}{a+2}$.
(4)原式$=\frac{m}{(m-1)(m+1)}÷\frac{m(m-1)}{(m-1)^2}=\frac{m}{(m-1)(m+1)}\cdot\frac{(m-1)^2}{m(m-1)}=\frac{1}{m+1}$.
3. 先化简,再求值：$(\frac {x^{2}-2}{x - 2}-x)÷\frac {x - 1}{x^{2}-4x + 4}$,其中$x = -\frac {1}{2}$.
答案：解:原式$=\frac{x^2-2-x(x-2)}{x-2}\cdot\frac{(x-2)^2}{x-1}=\frac{2x-2}{x-2}\cdot\frac{(x-2)^2}{x-1}=\frac{2(x-1)}{x-2}\cdot\frac{(x-2)^2}{x-1}=2(x-2)=2x-4$.当$x=-\frac{1}{2}$时,原式$=2×(-\frac{1}{2})-4=-1-4=-5$.
4. 化简$\frac {a^{2}-4}{a^{2}+2a + 1}÷\frac {a^{2}-4a + 4}{(a + 1)^{2}}-\frac {2}{a - 2}$的结果为(
C
)
A.$\frac {a + 2}{a - 2}$
B.$\frac {a - 4}{a - 2}$
C.$\frac {a}{a - 2}$
D.$a$
答案：C
解析：
$\begin{aligned}&\frac{a^2 - 4}{a^2 + 2a + 1} ÷ \frac{a^2 - 4a + 4}{(a + 1)^2} - \frac{2}{a - 2}\\=&\frac{(a + 2)(a - 2)}{(a + 1)^2} × \frac{(a + 1)^2}{(a - 2)^2} - \frac{2}{a - 2}\\=&\frac{a + 2}{a - 2} - \frac{2}{a - 2}\\=&\frac{a + 2 - 2}{a - 2}\\=&\frac{a}{a - 2}\end{aligned}$
C
5. 已知代数式$\frac {x}{x + 1}$,第一次操作将$\frac {x}{x + 1}作为新的x代入\frac {x}{x + 1}$中,化简后得到新的式子记为$F_{1}= \frac {x}{2x + 1}$；第二次操作将$\frac {x}{2x + 1}作为新的x代入F_{1}$中,化简后得到新的式子记为$F_{2}= \frac {x}{4x + 1}$；第三次操作将$\frac {x}{4x + 1}作为新的x代入F_{2}$中,化简后得到新的式子$F_{3}……$以此类推重复上述操作,有下列结论：①$F_{3}= \frac {x}{6x + 1}$；②若$\frac {1}{2}\lt x\lt1$,则$87\lt\frac {1}{F_{2}}+\frac {1}{F_{4}}+\frac {1}{F_{6}}\lt90$；③不存在整数$x$,使得$\frac {F_{2}}{F_{5}}$的值为负整数.其中,正确的有(
C
)
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案：C
解析：
结论①
第三次操作：将$F_{2}=\frac{x}{4x+1}$代入$F_{2}$中，得：
$F_{3}=\frac{\frac{x}{4x+1}}{\frac{x}{4x+1}+1}=\frac{\frac{x}{4x+1}}{\frac{x+4x+1}{4x+1}}=\frac{x}{5x+1}$
$F_{3}=\frac{x}{5x+1}\neq\frac{x}{6x+1}$，结论①错误。
结论②
观察规律：$F_{n}=\frac{x}{2^{n}x+1}$，则$\frac{1}{F_{n}}=2^{n}+\frac{1}{x}$。
$F_{2}=\frac{x}{4x+1}\Rightarrow\frac{1}{F_{2}}=4+\frac{1}{x}$
$F_{4}=\frac{x}{16x+1}\Rightarrow\frac{1}{F_{4}}=16+\frac{1}{x}$
$F_{6}=\frac{x}{64x+1}\Rightarrow\frac{1}{F_{6}}=64+\frac{1}{x}$
和为：$\frac{1}{F_{2}}+\frac{1}{F_{4}}+\frac{1}{F_{6}}=(4+16+64)+\frac{3}{x}=84+\frac{3}{x}$。
当$\frac{1}{2}\lt x\lt1$时，$1\lt\frac{1}{x}\lt2\Rightarrow3\lt\frac{3}{x}\lt6\Rightarrow87\lt84+\frac{3}{x}\lt90$，结论②正确。
结论③
$F_{2}=\frac{x}{4x+1}$，$F_{5}=\frac{x}{32x+1}$，则$\frac{F_{2}}{F_{5}}=\frac{32x+1}{4x+1}=8-\frac{7}{4x+1}$。
要使$\frac{F_{2}}{F_{5}}$为负整数，需$4x+1$为7的负因数：
$4x+1=-1\Rightarrow x=-\frac{1}{2}$（非整数）
$4x+1=-7\Rightarrow x=-2$（整数）
当$x=-2$时，$\frac{F_{2}}{F_{5}}=8-\frac{7}{-7}=9$（正整数，非负整数）。不存在整数$x$使$\frac{F_{2}}{F_{5}}$为负整数，结论③正确。
正确结论：②③，共2个
答案：C
6. (2024·北京模拟)若$3ab - 3b^{2}= 2$，则代数式$(1-\frac {2ab - b^{2}}{a^{2}})÷\frac {a - b}{a^{2}b}$的值为
$\frac{2}{3}$
.
答案：$\frac{2}{3}$
解析：
题目存在表述错误，“$3ab - 3b^{2}= 2 = 0$”不符合数学等式规范，无法进行正常解答。
7. 计算：
(1)$(a - 1+\frac {1}{a - 3})÷\frac {a^{2}-4}{a - 3}$；
(2)$(1+\frac {1}{x})÷(2x-\frac {1 + x^{2}}{x})$；
(3)$(\frac {a}{a - 2}-\frac {4}{a^{2}-2a})÷\frac {a + 2}{a}$；
(4)$\frac {x^{2}+2x + 1}{2x - 6}÷(1+\frac {4}{x - 3})$.
答案：解:
(1)原式$=[\frac{(a-1)(a-3)}{a-3}+\frac{1}{a-3}]÷\frac{(a+2)(a-2)}{a-3}=(\frac{a^2-4a+3}{a-3}+\frac{1}{a-3})\cdot\frac{a-3}{(a+2)(a-2)}=\frac{(a-2)^2}{a-3}\cdot\frac{a-3}{(a+2)(a-2)}=\frac{a-2}{a+2}$.
(2)原式$=\frac{x+1}{x}÷\frac{2x^2-1-x^2}{x}=\frac{x+1}{x}\cdot\frac{x}{(x+1)(x-1)}=\frac{1}{x-1}$.
(3)原式$=[\frac{a}{a-2}-\frac{4}{a(a-2)}]\cdot\frac{a}{a+2}=\frac{(a+2)(a-2)}{a(a-2)}\cdot\frac{a}{a+2}=1$.
(4)原式$=\frac{(x+1)^2}{2(x-3)}÷\frac{x-3+4}{x-3}=\frac{(x+1)^2}{2(x-3)}\cdot\frac{x-3}{x+1}=\frac{x+1}{2}$.
