1. 化简$\frac {a - 1}{a}+\frac {1}{a}$的结果是(
B
)
A.0
B.1
C.$a$
D.$a - 2$
答案：B
解析：
$\frac{a - 1}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a - 1 + 1}{a} = \frac{a}{a} = 1$，结果为1。
B
2. 若$x = 1+\frac {1}{y},y = 1+\frac {1}{x}$,则$y$等于(
D
)
A.$x - 1$
B.$x + 1$
C.$-x$
D.$x$
答案：D
解析：
由$x = 1+\frac{1}{y}$得$\frac{1}{y}=x - 1$，则$y=\frac{1}{x - 1}$。
由$y = 1+\frac{1}{x}$得$y=\frac{x + 1}{x}$。
所以$\frac{1}{x - 1}=\frac{x + 1}{x}$，
交叉相乘得$x=(x + 1)(x - 1)$，
即$x=x^2 - 1$，
移项得$x^2 - x - 1=0$，
解得$x=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$。
将$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$代入$y=\frac{x + 1}{x}$，得$y=\frac{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1}{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}=\frac{3+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}=\frac{(3+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}{(1+\sqrt{5})(\sqrt{5}-1)}=\frac{2+2\sqrt{5}}{4}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=x$。
同理，将$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$代入$y=\frac{x + 1}{x}$，得$y=x$。
综上，$y=x$。
D
3. 已知$\frac {1}{b}-\frac {2}{a}= 1$,则$\frac {2a + 3ab - 4b}{4ab - 3a + 6b}$的值为
5
.
答案：5
解析：
由$\frac{1}{b}-\frac{2}{a}=1$，等式两边同乘$ab$得：$a - 2b = ab$，即$ab = a - 2b$。
将$ab = a - 2b$代入$\frac{2a + 3ab - 4b}{4ab - 3a + 6b}$：
分子：$2a + 3(a - 2b) - 4b = 2a + 3a - 6b - 4b = 5a - 10b = 5(a - 2b)$
分母：$4(a - 2b) - 3a + 6b = 4a - 8b - 3a + 6b = a - 2b$
所以原式$=\frac{5(a - 2b)}{a - 2b}=5$
5
4. 计算：
(1)$\frac {1}{2x^{2}y}+\frac {2}{3x^{2}}-\frac {3}{4xy^{2}}$；
(2)$\frac {a^{2}+2}{a + 1}-\frac {3}{1 + a}$；
(3)$\frac {m}{m - 1}-\frac {3m - 1}{m^{2}-1}$；
(4)$\frac {x}{x^{2}-4}-\frac {1}{2x - 4}$.
答案：解:
(1)原式=$\frac{6y}{12x^{2}y^{2}}+\frac{8y^{2}}{12x^{2}y^{2}}-\frac{9x}{12x^{2}y^{2}}=\frac{6y+8y^{2}-9x}{12x^{2}y^{2}}$.
(2)原式=$\frac{a^{2}+2-3}{a+1}=\frac{(a+1)(a-1)}{a+1}=a-1$.
(3)原式=$\frac{m}{m-1}-\frac{3m-1}{(m+1)(m-1)}=\frac{m(m+1)-(3m-1)}{(m+1)(m-1)}$=$\frac{m^{2}-2m+1}{(m+1)(m-1)}=\frac{(m-1)^{2}}{(m+1)(m-1)}=\frac{m-1}{m+1}$.
(4)原式=$\frac{x}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{2(x-2)}=\frac{2x-(x+2)}{2(x+2)(x-2)}$=$\frac{x-2}{2(x+2)(x-2)}=\frac{1}{2x+4}$.
5. (2024·武汉模拟)已知实数$a,b,c满足a + b = ab = c$,有下列结论：①若$c\neq0$,则$\frac {2a - 3ab + 2b}{5a + 7ab + 5b}= -\frac {1}{12}$；②若$a = 3$,则$b + c = 6$；③若$c\neq0$,则$(1 - a)(1 - b)= \frac {1}{a}+\frac {1}{b}$；④若$c = 4$,则$a^{2}+b^{2}= 8$.其中正确的有(
D
)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案：D
解析：
①$c\neq0$时，$a+b=ab=c\neq0$，$\frac{2a - 3ab + 2b}{5a + 7ab + 5b}=\frac{2(a+b)-3ab}{5(a+b)+7ab}=\frac{2c - 3c}{5c + 7c}=\frac{-c}{12c}=-\frac{1}{12}$，正确；
②$a = 3$时，$3 + b = 3b = c$，由$3 + b = 3b$得$b=\frac{3}{2}$，$c=3b=\frac{9}{2}$，$b + c=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6$，正确；
③$c\neq0$时，$(1 - a)(1 - b)=1-(a + b)+ab=1 - c + c=1$，$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a + b}{ab}=\frac{c}{c}=1$，所以$(1 - a)(1 - b)=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$，正确；
④$c = 4$时，$a + b = 4$，$ab = 4$，$a^2 + b^2=(a + b)^2-2ab=4^2-2×4=16 - 8=8$，正确。
正确的有4个。
D
6. 已知$\frac {1}{a}+\frac {2}{b}= 1$,且$a\neq - b$,则$\frac {ab - a}{a + b}$的值为
1
.
答案：1
解析：
由$\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$，通分得$\frac{b + 2a}{ab} = 1$，则$b + 2a = ab$，即$ab - 2a = b$。
$\frac{ab - a}{a + b} = \frac{(ab - 2a) + a}{a + b} = \frac{b + a}{a + b} = 1$
1
7. 照相机成像应用了一个重要原理,用公式$\frac {1}{f}= \frac {1}{u}+\frac {1}{v}(v\neq f)$表示,其中$f$表示照相机镜头的焦距,$u$表示物体到镜头的距离,$v$表示胶片(像)到镜头的距离. 已知$f,v$,则$u= $
$\frac{fv}{v-f}$
.
答案：$\frac{fv}{v-f}$
解析：
$\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{f} - \frac{1}{v}$
$\frac{1}{u} = \frac{v - f}{fv}$
$u = \frac{fv}{v - f}$
