13. (16分)(2024·无锡期末)【问题】我们已经研究了等腰三角形的一些基本性质,如“等边对等角”“三线合一”等.对于一般三角形,有哪些对应的性质呢?
【探索1】小华猜想:在$\triangle ABC$中,如果$AB ＞ AC$,那么$\angle C ＞ \angle B$.
也就是说:三角形中较大的边所对的角也比较大(简称“大边对大角”).
小华把AC沿$\angle BAC$的平分线AD翻折,使点C落在AB上的点$C'$处,如图①,得到证明思路.请根据这个思路,结合图①写出证明过程.
【探索2】小华通过画图发现:若AM,AD,AH分别是$\triangle ABC$的中线、角平分线和高线,且$AB \neq AC$,则点D在直线BC上的位置始终处于点M和点H之间.
你认为这个结论是否一定成立?如果成立,不妨设$AB ＞ AC$,请结合图②进行证明;如果不成立,请举出反例.
答案：【探索1】证明:由翻折的性质得$\angle AC'D=\angle C$,
$\because \angle AC'D=\angle B+\angle BDC'$,$\therefore \angle AC'D＞\angle B$,
$\therefore \angle C＞\angle B$.
【探索2】解:这个结论一定成立.理由如下:
$\because AH$是$\triangle ABC$的高,$\therefore AH\perp BC$,
$\therefore \angle AHB=\angle AHC=90^{\circ}$,
$\therefore \angle BAH=90^{\circ}-\angle B$,$\angle CAH=90^{\circ}-\angle C$,$\because AB＞AC$,
$\therefore \angle C＞\angle B$,$\therefore \angle CAH＜\angle BAH$,$\because AD$平分$\angle BAC$,
$\therefore$点$D$在点$H$的左侧,
如答图,延长$AM$到点$E$,使$EM=AM$,连接$BE$.
$\because AM$是$\triangle ABC$的中线,$\therefore CM=BM$,
在$\triangle ACM$和$\triangle EBM$中,$\left\{\begin{array}{l}AM=EM,\\ \angle AMC=\angle EMB,\\ CM=BM,\end{array}\right.$
$\therefore \triangle ACM\cong \triangle EBM(SAS)$,
$\therefore AC=BE$,$\angle CAM=\angle BEM$,$\because AB＞AC$,$\therefore AB＞BE$,
$\therefore \angle BEM＞\angle BAM$,
$\therefore \angle CAM＞\angle BAM$,$\because AD$平分$\angle BAC$,$\therefore$点$D$在点$M$的右侧,
$\therefore$点$D$在直线$BC$上的位置始终处于点$M$和点$H$之间.
