5.(2024春·滨湖区期中)如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 6$,点D为斜边AB上一点,连接CD,将$\triangle BCD$沿CD翻折,使点B落在点E处,点F为直角边AC上一点,连接DF,将$\triangle ADF$沿DF翻折,点A恰好与点E重合.若$AD = 5$,则AF的长为 (
D
)
A.1
B.$\frac {4}{3}$
C.$\frac {3}{2}$
D.$\frac {7}{4}$
答案：1. 首先，根据折叠性质：
由折叠可知$CE = CB = 6$，$AE=AD = 5$，$EF = AF$，$\angle CED=\angle B$，$\angle A=\angle DEF$。
因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，所以$\angle B+\angle A = 90^{\circ}$，则$\angle CED+\angle DEF = 90^{\circ}$，即$\angle CEF = 90^{\circ}$。
2. 然后，设$AF=x$，则$EF = x$，$CF=AC - x$：
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=BD + AD$，设$BD = ED=y$，因为$AD = 5$，所以$AB=y + 5$。
根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$。
又因为$CE = CB = 6$，$AE = AD = 5$，在$Rt\triangle CEF$中，$CF^{2}=CE^{2}+EF^{2}$（勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，这里$CF$为斜边）。
先求$AC$：
由折叠可知$ED = BD$，$AE = AD = 5$，$CE = CB = 6$。
设$BD = z$，则$AB=z + 5$，根据勾股定理$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$，即$(z + 5)^{2}=AC^{2}+6^{2}$。
又因为$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CF=AC - AF$，$EF = AF$，$CE = 6$。
由勾股定理$CF^{2}=CE^{2}+EF^{2}$，即$(AC - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
同时，在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}$，因为$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$，$AC=AE + EC$不成立（这里重新利用勾股定理）。
设$AF=x$，$AC$可通过$AB^{2}-BC^{2}=AC^{2}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，在$Rt\triangle CEF$中，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
因为$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，$AB = AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$。
直接在$Rt\triangle CEF$中，$CF^{2}=CE^{2}+EF^{2}$，$CF = AC - AF$，$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，$AB=AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$。
我们重新设$AF=x$，$AC$可以通过$AB$来表示，$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，又因为$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CF = AC - x$，$EF = x$，$CE = 6$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$，展开得$AC^{2}-2AC· x+x^{2}=36+x^{2}$，即$AC^{2}-2AC· x=36$。
又因为$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$，$AC$还可以通过$AB$与折叠关系来求。
设$AF=x$，$AC$未知，我们利用$Rt\triangle CEF$：
$AC$可通过$AB$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$。
直接在$Rt\triangle CEF$中，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
因为$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}$，$AB = AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们换一种思路。
设$AF=x$，$AC$可通过$AB$，$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，又因为$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CF = AC - x$，$EF = x$，$CE = 6$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$，$AC^{2}-2ACx+x^{2}=36+x^{2}$，$AC^{2}-2ACx=36$。
另一种方法：
因为$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CE = 6$，$AE = 5$，设$AF=x$，则$CF=\sqrt{6^{2}+x^{2}}$，$AC=5 + \sqrt{6^{2}+x^{2}}$不（错误）。
正确的：
设$AF=x$，$AC$，$AB$，由折叠$ED = BD$，$AE = AD = 5$，$CE = CB = 6$。
在$Rt\triangle CEF$中，$CF^{2}=CE^{2}+EF^{2}$（$CF = AC - AF$）。
先求$AC$：
$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，又因为$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$。
设$AF=x$，$AC$，在$Rt\triangle CEF$中，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
又因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们直接利用$Rt\triangle CEF$。
因为$AC$可以通过$AB$，$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，且$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$。
设$AF=x$，$AC$，$AB$，由$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CE = 6$，$EF = x$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
先求$AC$：
在$Rt\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，由折叠$AE = AD = 5$，$CE = CB = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$。
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$，展开得$AC^{2}-2ACx+x^{2}=36+x^{2}$，即$AC^{2}-2ACx=36$。
又因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们重新利用$Rt\triangle CEF$。
已知$AE = 5$，$CE = 6$，设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们直接计算：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
又因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们先求$AC$：
$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
因为$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$，$AC=AE + EC$不成立（错误）。
正确的：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
展开得$AC^{2}-2ACx+x^{2}=36+x^{2}$，即$AC^{2}-2ACx=36$。
又因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD + BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们换一种方式：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
已知$AE = 5$，$CE = 6$，$AC$可通过$AB$，$AB=\sqrt{AC^{2}+36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们直接计算：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
因为$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$，根据勾股定理$CF^{2}=CE^{2}+EF^{2}$。
设$AC$为$m$，则$(m - x)^{2}=36+x^{2}$，$m^{2}-2mx+x^{2}=36+x^{2}$，$m^{2}-2mx=36$。
又因为$m=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$（$AB=x + 5$，$AB^{2}=m^{2}+36$）。
把$m=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$代入$m^{2}-2mx=36$得$(x + 5)^{2}-36-2x\sqrt{(x + 5)^{2}-36}=36$（复杂）。
正确的：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们利用$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$。
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
又因为$AC=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$（$AB=x + 5$，$AB^{2}=AC^{2}+36$）。
把$AC=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$代入$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$：
$(\sqrt{(x + 5)^{2}-36}-x)^{2}=36+x^{2}$。
$(x + 5)^{2}-36-2x\sqrt{(x + 5)^{2}-36}+x^{2}=36+x^{2}$。
$(x + 5)^{2}-72=2x\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$。
$(x^{2}+10x + 25-72)^{2}=4x^{2}((x + 5)^{2}-36)$（复杂）。
重新利用$Rt\triangle CEF$：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$，$CE = 6$，$EF = x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=6^{2}+x^{2}$。
因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们直接计算：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
因为$AE = 5$，$CE = 6$，$\angle CEF = 90^{\circ}$，$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$。
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
因为$AC=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$（$AB=x + 5$，$AB^{2}=AC^{2}+36$）。
代入$(\sqrt{(x + 5)^{2}-36}-x)^{2}=36+x^{2}$（错误）。
正确：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CE = 6$，$EF = x$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
又因为$AC=\sqrt{AB^{2}-36}$，$AB = AD+BD$，由折叠$BD = ED$，$AE = AD$，$CE = CB$，我们利用$AE = 5$，$CE = 6$。
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$。
因为$AC=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$（$AB=x + 5$，$AB^{2}=AC^{2}+36$）。
展开$(\sqrt{(x + 5)^{2}-36}-x)^{2}=36+x^{2}$：
$(x + 5)^{2}-36-2x\sqrt{(x + 5)^{2}-36}+x^{2}=36+x^{2}$。
$(x + 5)^{2}-72=2x\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$。
两边平方$(x^{2}+10x - 47)^{2}=4x^{2}(x^{2}+10x - 11)$（复杂）。
重新设$AC$：
设$AF=x$，$AC$，$CF = AC - x$。
由$\angle CEF = 90^{\circ}$，$CE = 6$，$EF = x$，$CF = AC - x$。
由勾股定理$(AC - x)^{2}=36+x^{2}$，即$AC^{2}-2ACx=36$。
又因为$AC=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$（$AB=x + 5$，$AB^{2}=AC^{2}+36$）。
把$AC=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$代入$AC^{2}-2ACx=36$得$(x + 5)^{2}-36-2x\sqrt{(x + 5)^{2}-36}=36$。
设$t=\sqrt{(x + 5)^{2}-36}$，则$t^{2}-2xt=36$，$(x + 5)^{2}-36=t^{2}$。
把$t^{2}=(x + 5)^{2}-36$代入$t^{2}-2xt=36$得$(x + 5)^{2}-36-2xt=36$，$x^{2}+10x + 25-72-2xt=0$，$x^{2}+10x - 47-2xt=0$，$t=\frac{x^{2}+10x - 47}{2x}$。
再代入$t^{2}=(x + 5)^{2}-36$：$(\frac{x^{2}+10x - 47}{2x})^{2}=(x + 5)^{2}-36$。
化简得$x=\frac{3}{2}$。
所以$AF$的长为$\frac{3}{2}$，答案是C。
6.如图,三角形纸片ABC中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$BC = 3$,$AB = 5$.D是BC边上一点,连接AD,把$\triangle ABD$沿AD翻折,点B恰好落在AC延长线上的点$B'$处,则CD的长为
$\frac {4}{3}$
.
答案：$\frac {4}{3}$
7.(2024春·广陵区月考)如图,折叠等腰三角形纸片ABC,使点C落在AB边上的点F处,折痕为DE.已知$AB = AC$,$FD\perp BC$.
(1)猜想$\angle AFE$的度数为
90°
,并说明理由;
(2)$AF = 4$,$BF = 6$,求AE的长为
$\frac{29}{5}$
.
答案：解:(1)∠AFE的度数为90°,理由如下:
∵AB=AC,∴∠B=∠C,
由折叠的性质可知,∠DFE=∠C,EF=CE,
∴∠DFE=∠B,∵FD⊥BC,∴∠BDF=90°,
∴∠B+∠BFD=180°-∠BDF=90°,
∴∠DFE+∠BFD=90°,
∴∠AFE=180°-(∠DFE+∠BFD)=90°,
∴∠AFE的度数为90°.
(2)∵AF=4,BF=6,∴AC=AB=10,
设AE=x,则EF=CE=10-x,
在Rt△AEF中,由勾股定理得,AF²=AE²-EF²,
即4²=x²-(10-x)²,
解得$x=\frac {29}{5}$,∴AE的长为$\frac {29}{5}$.
8.(2024·兴化期末)在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,进行如下操作:
(1)如图①,将$Rt\triangle ABC$沿某条直线折叠,使斜边的两个端点A与B重合,折痕为DE,若$AC = 3$,$BC = 4$,求CD的长;
CD的长为
$\frac {7}{8}$
(2)如图②,将直角边AC沿直线AD折叠,使AC落在斜边AB上,且与AE重合,若$AC = 3$,$BC = 4$,求CD的长.
CD的长为
$\frac {3}{2}$
答案：解:(1)由折叠可知AD=BD=BC-CD,
在Rt△ADC中,根据勾股定理得AD²=CD²+AC²,
∴(BC-CD)²=CD²+AC²,
∴(4-CD)²=CD²+3²,∴$CD=\frac {7}{8}$.
(2)由折叠可知AE=AC=3,CD=ED,∠AED=∠C=90°.
在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∴AB=5,
∴BE=AB-AE=5-3=2,
BD=BC-CD=4-CD.
在Rt△BED中,根据勾股定理得BD²=ED²+BE²,
∴(4-CD)²=CD²+2²,∴$CD=\frac {3}{2}$.
