12.(2024秋·南京期中)在$△ABC$中,$BC=a,AC=b,AB=c$.如图①,当$∠C=90^{\circ }$时,$a^{2}+b^{2}=c^{2}$.
(1)如图②,当$∠C＜90^{\circ }$时,小明猜想$a^{2}+b^{2}＞c^{2}$,理由如下:
过点 A 作$AD⊥BC$,垂足为 D,设$CD=x$……请补全小明的证明过程;
(2)如图③,当$∠C＞90^{\circ }$时,猜想$a^{2}+b^{2}$与$c^{2}$的大小关系,并证明你的猜想.
答案：解:(1)设CD = x,则BD = a - x.
∵AD⊥BC,∴AD² = b² - x²,AD² = c² - (a - x)²,
则b² - x² = c² - (a - x)²,∴a² + b² = c² + 2ax.
∵a＞0,x＞0,∴2ax＞0,∴a² + b²＞c²,
∴当△ABC为锐角三角形时,a² + b²＞c².
(2)当△ABC为钝角三角形时,a² + b²与c²的大小关系为a² + b²＜c².
证明:如答图，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D.
设CD = x.∵AD⊥BD,∴AD² = AC² - DC² = b² - x²,
AD² = AB² - BD² = c² - (a + x)²,
∴b² - x² = c² - (a + x)²,即a² + b² = c² - 2ax.
∵a＞0,x＞0,
∴2ax＞0,∴a² + b² = c² - 2ax＜c².
即当△ABC为钝角三角形时,a² + b²＜c².
