答案：4

答案：
(1) 证明: 如答图, 过点 $P$ 作 $PD \perp BC$ 于点 $D$.
$\because \angle ABC$ 和 $\angle ACB$ 的平分线相交于点 $P$, 且 $PE \perp AB$, $PF \perp AC$,
$\therefore PD = PE$, $PD = PF$, $\therefore PE = PF$.

(2) 解: $\because PE = PF$, $PE \perp AB$, $PF \perp AC$,
$\therefore AP$ 平分 $\angle BAC$,
$\because \angle BAC = 60^{\circ}$,
$\therefore \angle EAP = \frac{1}{2}\angle BAC = \frac{1}{2} \times 60^{\circ} = 30^{\circ}$.

答案：
(1) 证明: 如答图, 过点 $P$ 作 $PC \perp OA$, 垂足为 $C$, 过点 $P$ 作 $PD \perp MN$, 垂足为 $D$, 过点 $P$ 作 $PE \perp OB$, 垂足为 $E$;

$\because MP$ 平分 $\angle AMN$, $PC \perp OA$, $PD \perp MN$,
$\therefore PC = PD$,
$\because NP$ 平分 $\angle MNB$, $PD \perp MN$, $PE \perp OB$,
$\therefore PD = PE$, $\therefore PC = PE$,
$\therefore OP$ 平分 $\angle AOB$.
(2) 解: $\because \triangle PMN$ 的面积是 16, $MN = 8$,
$\therefore \frac{1}{2}MN \cdot PD = 16$,
即 $\frac{1}{2} \times 8 \cdot PD = 16$,
$\therefore PD = 4$,
$\therefore PD = PC = PE = 4$,
$\because \triangle OMN$ 的面积是 24,
$\therefore$ 四边形 $MONP$ 的面积 $= \triangle PMN$ 的面积 $+ \triangle OMN$ 的面积 $= 16 + 24 = 40$,
$\therefore \triangle POM$ 的面积 $+ \triangle PON$ 的面积 $= 40$,
$\therefore \frac{1}{2}OM \cdot PC + \frac{1}{2}ON \cdot PE = 40$,
$\therefore \frac{1}{2}OM \cdot 4 + \frac{1}{2}ON \cdot 4 = 40$,
$\therefore OM + ON = 20$,
$\therefore$ 线段 $OM$ 与 $ON$ 的长度之和为 20.