10.「2025江苏镇江期中,★☆」如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,AC= 3,BC= 4,P为边BC上一点,以P为圆心,$\frac{7}{2}$为半径作圆,则当点C在圆内,点A在圆外时,线段CP的取值范围为(
$\frac{\sqrt{13}}{2} ＜ CP ＜ \frac{7}{2}$
)
A.$\frac{\sqrt{13}}{2}＜CP＜\frac{7}{2}$
B.$0＜CP＜\frac{7}{2}$
C.$3＜CP＜5$
D.$\frac{1}{2}＜CP＜\frac{5}{2}$
答案：A 当点C在⊙P内时，CP ＜ $\frac{7}{2}$，当点A在⊙P上时，PA = $\frac{7}{2}$，∵∠C = 90°，AC = 3，∴此时CP = $\sqrt{PA^2 - AC^2} = \sqrt{(\frac{7}{2})^2 - 3^2} = \frac{\sqrt{13}}{2}$，∴要使点A在⊙P外，则CP ＞ $\frac{\sqrt{13}}{2}$，∴满足条件的线段CP的取值范围为 $\frac{\sqrt{13}}{2} ＜ CP ＜ \frac{7}{2}$。故选A。
11.「★☆」平面内一点P到$\odot O$上一点的最小距离为3 cm,最大距离为7 cm,则$\odot O$的半径为
2 cm 或 5 cm
.
答案：答案 2 cm 或 5 cm
解析 设P到圆心O的距离为d，⊙O的半径为r，当点P在⊙O内时，点P到⊙O上一点的最小距离为r - d = 3 cm，最大距离为r + d = 7 cm，∴2r = 10 cm，∴r = 5 cm。当点P在⊙O外时，点P到⊙O上一点的最小距离为d - r = 3 cm，最大距离为d + r = 7 cm，∴2r = 4 cm，∴r = 2 cm。综上，⊙O的半径为2 cm 或 5 cm。
方法解读 点到圆上一点距离最值问题
设该点到圆心的距离为d，圆的半径为r，则平面内一点到圆上一点距离的最大值为d + r，最小值为 |d - r|。该结论常用在解决动点在圆上的线段最值问题。
初中阶段所学线段最值相关结论简单概述有：两点之间线段最短；垂线段最短；点到圆上一点最小值为 |d - r|。
12.「2025浙江宁波期中,★☆」如图,AB是$\odot O$的弦,C是优弧$\overparen{AB}$上一动点,连接AC,BC,M,N分别是AB,BC的中点,连接MN.若AB= 8,$\angle ACB= 45^{\circ}$,则MN的最大值为____.
答案：答案 $4\sqrt{2}$
解析 ∵点M，N分别是AB，BC的中点，∴MN = $\frac{1}{2}AC$，∴当AC取得最大值时，MN就取得最大值，当AC取得最大值时，AC为⊙O的直径。如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC = 90°，∵∠ACB = 45°，∴∠CAB = 45°，∴AB = CB，∵AB = 8，∴AC = $8\sqrt{2}$，∴MN = $\frac{1}{2}AC = 4\sqrt{2}$。故MN的最大值为 $4\sqrt{2}$。
13.「2025吉林长春榆树期末,★☆」如图,AB是半圆O的直径,C是半圆弧的中点,$\triangle ABD和\triangle ABC$均内接于半圆O,AC、OC分别交BD于点E、F.若D是$\overparen{AC}$的中点,给出下面四个结论：①$\angle CAD= \angle DBA$；②CE= CF；③BC= 2AD；④$AD^{2}+DF^{2}= BF^{2}$.其中正确结论的序号是____.
答案：答案 ①②④
解析 ①∵点D是 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点，∴$\overset{\frown}{AD} = \overset{\frown}{CD}$，∴∠CAD = ∠DBA，故①正确；
②∵AB是半圆的直径，∴∠ADB = 90°，∴∠DAE + ∠AED = 90°，∵C是半圆弧的中点，∴CO⊥AB，∴∠COB = 90°，∴∠OBF + ∠BFO = 90°，∴∠AED = ∠BFO，∴∠CEF = ∠CFE，∴CE = CF，故②正确；
③如图，连接CD，∵点D是 $\overset{\frown}{AC}$ 的中点，点C是 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，∴$\overset{\frown}{CD} = \overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{AC} = \overset{\frown}{BC}$，∴CD = AD，AC = BC，∵AD + CD ＞ AC，∴2AD ＞ AC，∴2AD ＞ BC，故③错误；
④如图，连接AF，∵C是半圆弧的中点，∴CO垂直平分AB，∴FA = FB，在Rt△ADF中，由勾股定理得 $AD^2 + DF^2 = AF^2$，∴$AD^2 + DF^2 = BF^2$，故④正确。
综上所述，正确结论的序号是①②④。
14.「2024安徽中考,★☆」如图,$\odot O是\triangle ABC$的外接圆,D是直径AB上一点,$\angle ACD$的平分线交AB于点E,交$\odot O$于另一点F,FA= FE.
(1)求证：CD⊥AB.
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM= OE= 1,求AC的长.
$4\sqrt{2}$
答案：解析 (1)证明：∵FA = FE，∴∠FAE = ∠AEF，∵∠FAE与∠BCE都是 $\overset{\frown}{BF}$ 所对的圆周角，∴∠FAE = ∠BCE，∵∠AEF = ∠CEB，∴∠CEB = ∠BCE，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE = ∠DCE。∵AB是直径，∴∠ACB = 90°，∴∠CEB + ∠DCE = ∠BCE + ∠ACE = ∠ACB = 90°，∴∠CDE = 90°，∴CD⊥AB。
(2)由(1)知，∠BEC = ∠BCE，∴BE = BC，∵FA = FE，FM⊥AB，∴MA = ME = OM + OE = 2，∴AE = 4，∴圆的半径OA = OB = AE - OE = 3，∴BC = BE = OB - OE = 2，在Rt△ABC中，AB = 6，BC = 2，∠ACB = 90°，∴AC = $\sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{6^2 - 2^2} = 4\sqrt{2}$。
15.「★☆」如图,抛物线$y= \frac{1}{4}x^{2}-4$与x轴交于A,B两点,P是以点C(0,3)为圆心,2为半径的圆上的动点,Q是线段PA的中点,连接OQ,则线段OQ的最大值为( )
A.3
B.$\frac{\sqrt{41}}{2}$
C.$\frac{7}{2}$
D.4
答案：C 如图，连接BP，当y = 0时，$\frac{1}{4}x^2 - 4 = 0$，解得 $x_1 = 4$，$x_2 = -4$，∴A(-4,0)，B(4,0)。∵Q是线段PA的中点，∴OQ为△ABP的中位线，∴OQ = $\frac{1}{2}BP$。∴当BP的值最大时，OQ的值最大，当BP过圆心C时，BP的值最大。如图，当点P运动到P'的位置时，BP的值最大。∵BC = $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$，∴BP' = 5 + 2 = 7，∴线段OQ的最大值是 $\frac{7}{2}$。故选C。
