10.「2024 内蒙古通辽中考,」如图,圆形拱门最下端 AB 在地面上,D 为 AB 的中点,C 为拱门最高点,线段 CD 经过拱门所在圆的圆心,若$AB= 1m,CD= 2.5m$,则拱门所在圆的半径为( )
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
答案：10.B如图,连接OA,∵D为AB的中点,C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心,AB=1m，∴CD⊥AB,AD=BD=0.5m,设拱门所在圆的半径为rm,∴OA=OC=rm,∵CD=2.5m,∴OD=(2.5 - r)m,在Rt△AOD中,$OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}$，∴$r^{2}=0.5^{2}+(2.5 - r)^{2}$，解得r=1.3,∴拱门所在圆的半径为1.3m.故选B.
11.「2025 重庆巴南月考,」如图,AB 是$\odot O$的弦,点D 是弦 AB 的中点,OD 的延长线与$\odot O$交于点 C,AE 是直径,连接 BE,DE,$∠ABE= 90^{\circ }$.若$DE= 3OD= 3$,则半径 OC 的长为(
C
)
A.2
B.$\sqrt {5}$
C.$\sqrt {6}$
D.$\frac {5}{2}$
答案：11.C ∵点D是弦AB的中点，OC是⊙O的半径，∴AD=DB=$\frac{1}{2}$AB,OD⊥AB,∴OD是△ABE的中位线,∴OD=$\frac{1}{2}$BE,∵DE=3OD=3,∴OD=1,∴BE=2,∵∠ABE = $90^{\circ}$,∴在Rt△DBE中,DB=$\sqrt{DE^{2}-BE^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$,∴AD=DB=$\sqrt{5}$,∴OA=$\sqrt{AD^{2}+OD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{5})^{2}+1^{2}}=\sqrt{6}$,∴OC=$\sqrt{6}$.故选C.
12.「2025 河南许昌期中,」如图,在半圆 ACB 中,$AB= 6$,将半圆 ACB 沿弦 BC 所在直线折叠,若弧 BC 恰好过圆心 O,则 BC 的长是( )
A.$3\sqrt {3}$
B.2π
C.$3\sqrt {2}$
D.$2\sqrt {6}$
答案：12.A如图,过点O作OD⊥BC,由折叠的性质可知OD=$\frac{1}{2}$OB,∴OD=$\frac{1}{4}$AB=$\frac{3}{2}$,在Rt△OBD中，∵OD=$\frac{1}{2}$OB,∴∠OBD = $30^{\circ}$,∴BD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,∵OD⊥BC,OD经过圆心，∴BC=2BD=$3\sqrt{3}$.故选A.
13.「2024 河北石家庄桥西期中,」如图,$\odot O$的半径是 6,AB 是$\odot O$的弦,C 是 AB 上一点,$AC= 6$,$BC= 2$,点 P 是$\odot O$上一动点,则点 P 与点 C 之间的最大距离是( )
A.$6+2\sqrt {6}$
B.12
C.$6+2\sqrt {5}$
D.13
答案：13.A 如图,过O点作OH⊥AB于点H,连接OA,OP,OC,PC,则AH=BH,∵AC=6,BC=2,∴AB=8,∴AH=BH=4,∴CH=4 - 2=2,在Rt△OAH中,OH=$\sqrt{OA^{2}-AH^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}} = 2\sqrt{5}$，在Rt△OCH中,OC=$\sqrt{(2\sqrt{5})^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{6}$，∵PC ≤ OP + OC（当且仅当P，O，C共线时取等号），∴点P与点C之间的最大距离为$6 + 2\sqrt{6}$.故选A.
14.学科综合与特色实践「」小明在学习圆的相关知识时,看到书本上提到可以用一把丁字尺(如图 1)来找圆心,他想到爸爸的工具箱里有丁字尺,于是想利用丁字尺还原一个破损的圆,已知尺头$AB= 4cm$,尺身刻度线 l 垂直平分 AB,他摆出的情况如图 2,发现两次测量丁字尺的尺身刻度线交于刻度为 6 cm 的位置,则这个破损的圆的直径是____cm.
答案：答案 $4\sqrt{10}$
解析 如图，设两次测量丁字尺的尺身刻度线的交点为O,则O为圆心,连接OA,设l与AB交于点C,∵尺身刻度线l垂直平分AB,∴AC=$\frac{1}{2}$AB=2cm,∵在Rt△AOC中，$OA^{2}=AC^{2}+OC^{2}$，∴OA=$\sqrt{AC^{2}+OC^{2}}=\sqrt{2^{2}+6^{2}} = 2\sqrt{10}$(cm),∴这个破损的圆的直径是$4\sqrt{10}$cm.
15.「2025 江苏南京鼓楼期中,」如图,$\odot O$的半径为5,$OP= 1$,若将$\odot O$沿某条弦所在的直线翻折,翻折后的弧恰好经过点 P,则这条弦的长度 a 的取值范围是____.
答案：答案 $8\leqslant a\leqslant 2\sqrt{21}$
解析 如图，作OP所在的直径CD,设PC的中点为M,PD的中点为N,作线段PC,PD的垂直平分线分别与⊙O交于A、B,E、F,沿弦AB,EF所在直线将⊙O翻折，则翻折后的弧恰好经过点P,连接OA,OE.根据垂径定理得AB=2AM,EF=2EN,∵⊙O的半径为5,OP=1,∴PC=4,PD=6,∴PM=CM=$\frac{1}{2}$PC=2,PN=DN=$\frac{1}{2}$PD=3,∴OM=OP + PM=3,ON=PN - OP=2,在Rt△OAM中,由勾股定理得AM=$\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$,∴AB=2AM=8,即a=8.在Rt△OEN中,由勾股定理得EN=$\sqrt{OE^{2}-ON^{2}}=\sqrt{5^{2}-2^{2}}=\sqrt{21}$,∴EF=2EN=$2\sqrt{21}$,即a=$2\sqrt{21}$,∴这条弦的长度a的取值范围是$8\leqslant a\leqslant 2\sqrt{21}$.
16.新课标推理能力「2025 浙江宁波慈溪期中」如图,有两个半径分别为$\sqrt {5}和2\sqrt {5}$的同心圆,矩形 ABCD 的边AB,CD 分别为两圆的弦,那么矩形 ABCD 的面积最大时,AB 的长为____.
答案：答案 4
解析 如图,过O作OM⊥AD于M,ON⊥AB于N,连接OA,OD,∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD = $90^{\circ}$,又OM⊥AD,ON⊥AB,∴四边形OMAN是矩形，∴OM=AN,∵ON⊥AB,∴AB=2AN=2OM,∴OM=AN=$\frac{1}{2}$AB,∴$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}AD\cdot OM=\frac{1}{4}AD\cdot AB$,∵$S_{矩形ABCD}=AD\cdot AB$,∴$S_{矩形ABCD}=4S_{\triangle OAD}$,∴当△OAD的面积最大时，矩形ABCD的面积最大，易知当OA⊥OD时，△OAD的面积最大,此时AD=$\sqrt{OA^{2}+OD^{2}} = 5$,当OA⊥OD时,$S_{\triangle OAD}=\frac{1}{2}AD\cdot OM=\frac{1}{2}AO\cdot OD$,∴5OM=$\sqrt{5}\times2\sqrt{5}$,∴OM=2,∴AB=2OM=4,∴矩形ABCD的面积最大时，AB的长为4.
