4.如图,$△ABC$为等边三角形,以$AB为边向外作△ABD$,使$∠ADB= 120°$,再以点$C为旋转中心把△CBD旋转到△CAE$,则下列结论：
①$D$,$A$,$E$三点共线；②$DC平分∠BDA$；③$∠E= ∠BAC$；④$DC= DB+DA$。
其中正确的有(
)
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
答案：A 如图，①设∠1=$x^{\circ}$，则∠2=(60−$x$)°，∠DBC=($x$+60)°，故∠4=($x$+60)°，∴∠2+∠3+∠4=(60−$x$)°+60°+($x$+60)°=180°，∴D，A，E三点共线，故①正确；
②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CE=CD，∠DCE=60°，∠BDC=∠E，∴△CDE为等边三角形，∴∠CDA=∠E=60°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC平分∠BDA，故②正确；
③由题易知∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC，故③正确；
④由旋转的性质可知AE=DB，∵△CDE为等边三角形，∴DC=DE=AE+AD=DB+DA，故④正确。
综上，正确的有4个。
5.如图,已知四边形$ABCD$的对角互补,且$∠BAC= ∠DAC$,$AB= 15$,$AD= 12$。过顶点$C作CE⊥AB于E$,则$\frac{AE}{BE}$的值为( )
A.9
B.$\sqrt{73}$
C.7.2
D.6
答案：A 如图，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，则∠CFD=90°，∵CE⊥AB，∴∠CEB=90°，∴∠CEB=∠CFD。∵∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，∴CE=CF。∵四边形ABCD的对角互补，∴∠B+∠ADC=180°。∵∠CDF+∠ADC=180°，∴∠B=∠CDF，在△CEB和△CFD中，$\begin{cases}∠CEB=∠F\\∠B=∠CDF\\CE=CF\end{cases}$，∴△CEB≌△CFD(AAS)，∴BE=DF，在Rt△ACE和Rt△ACF中，$\begin{cases}AC=AC\\CE=CF\end{cases}$，∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL)，∴AE=AF。设BE=DF=$a$，∵AB=15，AD=12，AB=AE+EB=AF+EB，∴15=12+$a$+$a$，∴$a$=1.5，∴AE=15−$a$=15−1.5=13.5，BE=$a$=1.5，∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{13.5}{1.5}$=9，故选A。
6.方程思想如图,已知正方形$ABCD$的边长为3,点$E$,$F分别是AB$,$BC$边上的点,且$∠EDF= 45°$,将$△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△CDM$。若$AE= 1$,则$MF$的长为
$\frac{5}{2}$
。
答案：答案 $\frac{5}{2}$
解析 由旋转的性质可得∠A=∠DCM=90°，DE=DM，∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，∴F，C，M三点共线。由题意得∠EDM=90°，即∠EDF+∠FDM=90°。∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°。在△DEF和△DMF中，$\begin{cases}DE=DM\\∠EDF=∠MDF\\DF=DF\end{cases}$，∴△DEF≌△DMF(SAS)，∴EF=MF。设EF=MF=$x$，∵AE=CM=1，且BC=3，∴BM=BC+CM=3+1=4，∴BF=BM−MF=4−$x$，∵EB=AB−AE=3−1=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得EB²+BF²=EF²，即2²+(4−$x$)²=$x$²，解得$x$=$\frac{5}{2}$，∴MF=$\frac{5}{2}$。
7.如图,在$△ABC$中,$∠BAC= 90°$,$AB= AC$,点$D$,$E都在BC$上,$∠DAE= 45°$,$BD= 3$,$CE= 5$,则$DE$的长为____。
答案：答案 $\sqrt{34}$
解析 将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使得AB与AC重合，如图所示，连接ED'，
∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，由旋转的性质可知△ABD≌△ACD'，∴CD'=BD=3，∠ACD'=∠B=45°，∴∠D'CE=∠ACD'+∠ACB=90°，∵CE=5，∴D'E=$\sqrt{EC^{2}+D'C^{2}}$=$\sqrt{34}$，由旋转的性质可知∠BAD=∠CAD'，∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=∠CAD'+∠DAC=90°，即∠DAD'=90°，又∵∠DAE=45°，∴∠D'AE=45°，∴∠DAE=∠D'AE，又AD=AD'，AE=AE，∴△ADE≌△AD'E(SAS)，∴DE=D'E=$\sqrt{34}$。
8.如图所示,$△ABC$是边长为1的等边三角形,$△BDC是顶角∠BDC为120°$的等腰三角形,以$D为顶点作∠MDN= 60°$,点$M$,$N分别在AB$,$AC$上,则$△AMN$的周长为____。
答案：答案 2
解析 如图，延长AC至E，使得CE=BM，连接DE。∵△ABC是等边三角形，且△BDC是顶角∠BDC为120°的等腰三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，则∠ABD=∠DCE=90°，在△MBD和△ECD中，$\begin{cases}BM=CE\\∠MBD=∠DCE\\BD=CD\end{cases}$，∴△MBD≌△ECD(SAS)，∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，∴∠MDB+∠NDC=60°，∴∠EDC+∠NDC=60°，即∠EDN=60°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，$\begin{cases}MD=ED\\∠MDN=∠EDN\\DN=DN\end{cases}$，∴△MDN≌△EDN(SAS)，∴MN=EN，即MN=NC+CE=NC+BM，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+BM+NC+AN=AB+AC=2。
