14.「新课标 创新意识」老师设计了一个接力游戏,通过合作的方式用配方法解一元二次方程,规则:每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将结果传递给下一人,最后解出方程.过程如图所示:
老师：$x^{2}+2x-3= 0$
甲：$x^{2}+2x+1= 3$
乙：$(x+1)^{2}= 3$
丙：$x+1= \sqrt {3}$
丁：$x= \sqrt {3}-1$
接力中,自己负责的一步出现错误的是(
C
)
A.只有甲
B.甲和乙
C.甲和丙
D.丙和丁
答案：C $ x ^ { 2 } + 2 x - 3 = 0 $，配方，得 $ x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 3 + 1 $，故甲出现错误。$ x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 3 $，整理得 $ ( x + 1 ) ^ { 2 } = 3 $，故乙正确。$ ( x + 1 ) ^ { 2 } = 3 $，$ \therefore x + 1 = \pm \sqrt { 3 } $，故丙出现错误。$ x + 1 = \sqrt { 3 } $，移项得 $ x = \sqrt { 3 } - 1 $，故丁正确。$ \therefore $ 接力中，自己负责的一步出现错误的是甲和丙。故选 C。
15.「新课标 模型观念」观察下列式子:
$x^{2}+4x+2= (x^{2}+4x+4)-2= (x+2)^{2}-2$,
$\because (x+2)^{2}≥0,\therefore x^{2}+4x+2= (x+2)^{2}-2≥-2$,
原式有最小值,是-2;
$-x^{2}+2x-3= -(x^{2}-2x+1)-2= -(x-1)^{2}-2$,
$\because -(x-1)^{2}≤0,\therefore -x^{2}+2x-3= -(x-1)^{2}-2≤-2$,原式有最大值,是-2.
解答下列问题:
(1)求代数式$2x^{2}-4x+1$的最小值.
-1
(2)解决实际问题:在紧靠围墙的空地上,用长为100米的木栅栏围成一个长方形花圃(如图),设花圃中垂直于围墙的一边的长度为x米,完成下列任务.
①用含x的式子表示花圃的面积.
$-2x^{2}+100x$
②当x取何值时,花圃的面积最大? 花圃的最大面积是多少平方米?
当$x=$
25
时，花圃的面积最大，为
1250
平方米。
答案：解析 (1) $ 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 2 ( x ^ { 2 } - 2 x + 1 - 1 ) + 1 = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 $，$ \because ( x - 1 ) ^ { 2 } \geq 0 $，
$ \therefore 2 x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 2 ( x - 1 ) ^ { 2 } - 1 \geq - 1 $，原式有最小值，是 -1。
(2) ① 花圃的面积：$ x ( 100 - 2 x ) = ( - 2 x ^ { 2 } + 100 x ) $ 平方米。
② $ - 2 x ^ { 2 } + 100 x = - 2 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 1250 $，
由题意得 $ \left\{ \begin{array} { l } { x ＞ 0, } \\ { 100 - 2 x ＞ 0, } \end{array} \right. $ 则 $ 0 ＜ x ＜ 50 $，
$ \because 0 ＜ 25 ＜ 50 $，$ - 2 ( x - 25 ) ^ { 2 } \leq 0 $，
$ \therefore - 2 x ^ { 2 } + 100 x = - 2 ( x - 25 ) ^ { 2 } + 1250 \leq 1250 $，
$ \therefore $ 当 $ x = 25 $ 时，花圃的面积最大，为 1250 平方米。
例题 已知$P= \frac {7}{15}m-1,Q= m^{2}-\frac {8}{15}m$(m为任意实数),比较大小:$P$
＜
$Q$.(填“＜”“＞”或“=”)
答案：答案 ＜
解析 $ Q - P = m ^ { 2 } - \frac { 8 } { 15 } m - \left( \frac { 7 } { 15 } m - 1 \right) = m ^ { 2 } - m + 1 = \left( m - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } $，$ \because \left( m - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } \geq 0 $，$ \therefore \left( m - \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { 2 } + \frac { 3 } { 4 } \geq \frac { 3 } { 4 } ＞ 0 $，$ \therefore P ＜ Q $。
变式1【二次项系数改为不为1】「2023江苏无锡江南大学附中二模」已知$M= 2x^{2}-2x+3,N= 4x^{2}-3x+4$,请比较M和N的大小.
解：
$M < N$
答案：解析 $ \because M = 2 x ^ { 2 } - 2 x + 3 $，$ N = 4 x ^ { 2 } - 3 x + 4 $，$ \therefore M - N = ( 2 x ^ { 2 } - 2 x + 3 ) - ( 4 x ^ { 2 } - 3 x + 4 ) = 2 x ^ { 2 } - 2 x + 3 - 4 x ^ { 2 } + 3 x - 4 = - 2 x ^ { 2 } + x - 1 = - 2 \left( x - \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 2 } - \frac { 7 } { 8 } ＜ 0 $，$ \therefore M ＜ N $。
变式2【单字母改为双字母】「2024北京十五中期中」试判断代数式$a^{2}+2b^{2}+11与2ab+2a+4b$的大小,并说明理由.
答案：解析 $ a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 ＞ 2 a b + 2 a + 4 b $。理由如下：$ \because ( a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 ) - ( 2 a b + 2 a + 4 b ) = a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 - 2 a b - 2 a - 4 b = [ ( a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 } ) + ( - 2 a + 2 b ) + 1 ] + ( b ^ { 2 } - 6 b + 9 ) + 1 = [ ( a - b ) ^ { 2 } - 2 ( a - b ) + 1 ] + ( b - 3 ) ^ { 2 } + 1 = ( a - b - 1 ) ^ { 2 } + ( b - 3 ) ^ { 2 } + 1 ＞ 0 $，$ \therefore a ^ { 2 } + 2 b ^ { 2 } + 11 ＞ 2 a b + 2 a + 4 b $。
