1. [2025云南昆明一模]抛物线$y= -x^{2}+bx+3$的部分图象如图所示,则一元二次方程$-x^{2}+bx+3= 0$的根为(
D
)
A. $x_{1}= x_{2}= 1$
B. $x_{1}= 1,x_{2}= -1$
C. $x_{1}= 1,x_{2}= -2$
D. $x_{1}= 1,x_{2}= -3$
答案：D [解法一]∵抛物线的对称轴为直线x = - 1，与x轴的一个交点为(1,0)，∴抛物线与x轴的另外一个交点为( - 3,0)，∴一元二次方程 - x² + bx + 3 = 0的根为x₁ = 1，x₂ = - 3。故选D。
[解法二]由图象可设一元二次方程 - x² + bx + 3 = 0的根为x₁ = 1，x₂，则x₁x₂ = - 3，解得x₂ = - 3，∴一元二次方程 - x² + bx + 3 = 0的根为x₁ = 1，x₂ = - 3。故选D。
[解法三]将(1,0)代入抛物线解析式中得 - 1 + b + 3 = 0，∴b = - 2，∴y = - x² - 2x + 3，令y = 0，则 - x² - 2x + 3 = 0，解得x₁ = 1，x₂ = - 3，∴一元二次方程 - x² + bx + 3 = 0的根为x₁ = 1，x₂ = - 3。故选D。
2. [2025浙江杭州月考]抛物线$y= -(x-4)^{2}+3$与坐标轴的交点个数为(
D
)
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
答案：D [解法一]当y = 0时，得 - (x - 4)² + 3 = 0，即x² - 8x + 13 = 0，此时Δ = ( - 8)² - 4×1×13 = 12 ＞ 0，∴抛物线与x轴有两个交点；当x = 0时，y = - 13，∴抛物线与y轴有1个交点，∴抛物线与坐标轴的交点个数为3。故选D。
[解法二]抛物线y = - (x - 4)² + 3开口向下，顶点坐标为(4,3)，∴抛物线与x轴有两个交点；当x = 0时，y = - 13，∴抛物线与y轴有1个交点，∴抛物线与坐标轴的交点个数为3。故选D。
3. [2023浙江宁波北仑期中]二次函数$y= x^{2}+2x-8$的图象与x轴的两个交点之间的距离为
6
.
答案：答案6
解析 令x² + 2x - 8 = 0，解得x = 2或x = - 4，即函数图象和x轴交点的坐标分别为(2,0)，( - 4,0)，故两交点之间的距离为6。
4. [2024宁夏中考]若二次函数$y= 2x^{2}-x+m$的图象与x轴有交点,则m的取值范围是
m ≤ $\frac{1}{8}$
.
答案：答案m ≤ $\frac{1}{8}$
解析 ∵二次函数y = 2x² - x + m的图象与x轴有交点，∴Δ = ( - 1)² - 4×2m ≥ 0，解得m ≤ $\frac{1}{8}$，即m的取值范围为m ≤ $\frac{1}{8}$。
5. [2025浙江宁波镇海期中]如图所示的是二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象,则不等式$ax^{2}+bx+c＜3$的解集是(
D
)
A. $-1＜x＜3$
B. $x＜-1或x＞3$
C. $0＜x＜2$
D. $x＜0或x＞2$
答案：D 由题图可知二次函数y = ax² + bx + c的图象的对称轴为直线x = 1，与y轴的交点坐标为(0,3)，由二次函数图象的对称性可知，点(2,3)也在函数y = ax² + bx + c的图象上。由题图可知，当x ＜ 0或x ＞ 2时，对应的y值小于3，因此ax² + bx + c ＜ 3的解集为x ＜ 0或x ＞ 2。故选D。
6. [2025浙江杭州西湖期中]如图,抛物线$y= ax^{2}+c(a≠0)与直线y= mx+n(m≠0)交于A(-1,p),B(3,q)$两点,则不等式$ax^{2}-mx+c＞n$的解集是
x＜-1或x＞3
.
答案：答案x ＜ - 1或x ＞ 3
解析 ∵抛物线y = ax² + c与直线y = mx + n交于A( - 1,p)，B(3,q)两点，∴ax² + c ＞ mx + n的解集是x ＜ - 1或x ＞ 3，∴ax² - mx + c ＞ n的解集是x ＜ - 1或x ＞ 3。
7. [2025湖北恩施期中]根据下表中二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的自变量x与函数值y的对应值,判断方程$ax^{2}+bx+c= 0(a≠0,a,b,c$为常数)的一个解x的取值范围是(
C
)
A. $6＜x＜6.17$
B. $6.17＜x＜6.18$
C. $6.18＜x＜6.19$
D. $6.19＜x＜6.20$
答案：C 函数y = ax² + bx + c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax² + bx + c = 0的根，因为y = 0在y = - 0.01与y = 0.02之间，所以由题表中数据可知对应的x的值在6.18与6.19之间，即6.18 ＜ x ＜ 6.19。故选C。
8. [2024安徽合肥瑶海月考]小颖用计算器探索方程$ax^{2}+bx+c= 0$的根,作出如图所示的图象,并求得一个近似根$x= -3.4$,则方程的另一个近似根为
1.4
.(精确到0.1)
答案：答案x = 1.4
解析 ∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标约为 - 3.4，抛物线的对称轴为直线x = - 1，∴抛物线与x轴的另一个交点的横坐标约为1.4，则方程的另一个近似根为x = 1.4。
9. [2024四川达州中考]抛物线$y= -x^{2}+bx+c$与x轴交于两点,其中一个交点的横坐标大于1,另一个交点的横坐标小于1,则下列结论正确的是(
A
)
A. $b+c＞1$
B. $b= 2$
C. $b^{2}+4c＜0$
D. $c＜0$
答案：A 抛物线y = - x² + bx + c与x轴交于两点，设这两点分别为(x₁,0)和(x₂,0)，且x₁ ＜ 1，x₂ ＞ 1。
[解法一]根与系数关系法：∵x₁ ＜ 1，x₂ ＞ 1，∴x₁ - 1 ＜ 0，x₂ - 1 ＞ 0，∴(x₁ - 1)(x₂ - 1) ＜ 0，∴x₁x₂ - (x₁ + x₂) + 1 ＜ 0，由根与系数的关系可得， - c - b + 1 ＜ 0，∴b + c ＞ 1。故选A。
[解法二]图象法：∵y = - x² + bx + c的图象开口向下，所以当x = 1时，y = - 1 + b + c ＞ 0，∴b + c ＞ 1。故选A。
10. [2023湖南衡阳中考]已知$m＞n＞0$,若关于x的方程$x^{2}+2x-3-m= 0的解为x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$,关于x的方程$x^{2}+2x-3-n= 0的解为x_{3},x_{4}(x_{3}＜x_{4})$,则下列结论正确的是( )
A. $x_{3}＜x_{1}＜x_{2}＜x_{4}$
B. $x_{1}＜x_{3}＜x_{4}＜x_{2}$
C. $x_{1}＜x_{2}＜x_{3}＜x_{4}$
D. $x_{3}＜x_{4}＜x_{1}＜x_{2}$
答案：B 关于x的方程x² + 2x - 3 - m = 0的解为抛物线y = x² + 2x - 3与直线y = m的交点的横坐标，关于x的方程x² + 2x - 3 - n = 0的解为抛物线y = x² + 2x - 3与直线y = n的交点的横坐标，如图：
由图象可知，x₁ ＜ x₃ ＜ x₄ ＜ x₂，故选B。
11. [2024江苏徐州中考]在平面直角坐标系中,将二次函数$y= (x-2023)(x-2024)+5$的图象向下平移5个单位长度,所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q,则$PQ= $
1
.
答案：答案1
解析 将二次函数y = (x - 2023)(x - 2024) + 5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为y = (x - 2023)(x - 2024)，令y = 0，则(x - 2023)(x - 2024) = 0，∴x - 2023 = 0或x - 2024 = 0，解得x = 2023或x = 2024，∴PQ = 2024 - 2023 = 1。
