13.「2024内蒙古呼和浩特中考,」我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”其大意是:矩形面积是864平方步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步?若设长为x步,则下列符合题意的方程是 (
C
)
A. $ x \cdot \frac { 60 - x } { 2 } = 864 $
B. $ x ( 60 + x ) = 864 $
C. $ x ( 60 - x ) = 864 $
D. $ x ( 30 - x ) = 864 $
答案：C 长为 $ x $ 步，则宽为 $ (60 - x) $ 步，根据题意，得 $ x(60 - x)=864 $. 故选 C.
14. 「2025河南郑州期中,」若 $ ( m - 3 ) x ^ { | m - 1 | } - x - 5 = 0 $ 是关于x的一元二次方程,则m的值为 (
C
)
A. 1
B. 3
C. -1
D. $ \pm \sqrt { 3 } $
答案：C 由题意可知 $ \begin{cases}|m - 1| = 2,\\m - 3 \neq 0,\end{cases} $ 解得 $ m = -1 $. 故选 C.
易错点 易忽略二次项系数不为 0.
15.「2025江西南昌月考,」关于x的一元二次方程 $ ( 4 - a ) x ^ { 2 } + a ^ { 2 } x = 16 x + 1 $ 化为一般形式后不含一次项,则a的值为 (
D
)
A. 0
B. $ \pm 4 $
C. 4
D. -4
答案：D 原方程化为一般形式为 $ (4 - a)x^{2}+(a^{2}-16)x - 1 = 0 $，∵ 该方程不含一次项，∴ $ a^{2}-16 = 0 $，∴ $ a = \pm 4 $，又 ∵ $ 4 - a \neq 0 $，∴ $ a \neq 4 $，∴ $ a = -4 $. 故选 D.
16.「2024陕西西安雁塔期末,」已知一元二次方程 $ x ^ { 2 } - 3 x + c = 0 $ 的一个根为 $ x = 2 $,则一次函数 $ y = 3 x + c $ 的图象不经过 (
D
)
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案：D ∵ 一元二次方程 $ x^{2}-3x + c = 0 $ 的一个根为 $ x = 2 $，∴ $ 4 - 6 + c = 0 $，解得 $ c = 2 $，∴ $ y = 3x + 2 $，∵ $ 3 ＞ 0 $，$ 2 ＞ 0 $，∴ 一次函数 $ y = 3x + 2 $ 的图象不经过第四象限. 故选 D.
17.「2025江苏宿迁泗洪期中,」若关于x的一元二次方程 $ ( m + 3 ) x ^ { 2 } - 4 x + m x + | m | + 3 = 0 $ 的常数项是6,则一次项是 (
-x
)
A. -x
B. -1
C. x
D. 1
答案：A ∵ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ (m + 3)x^{2}-4x + mx + |m| + 3 = 0 $ 的常数项是 6，∴ $ |m| + 3 = 6 $，$ m + 3 \neq 0 $，解得 $ m = 3 $，把 $ m = 3 $ 代入原方程可得 $ 6x^{2}-x + 6 = 0 $，∴ 一次项是 $ -x $. 故选 A.
18.「2025湖南郴州月考,」已知方程 $ x ^ { 2 } + m x + n = 0 $ 的一个根是 $ x = - n $,且 $ n \neq 0 $,则 $ m - n $ 的值为 (
A
)
A. 1
B. -1
C. 0
D. -2
答案：A ∵ 方程 $ x^{2}+mx + n = 0 $ 的一个根是 $ x = -n $，∴ $ n^{2}-mn + n = n(n - m + 1)=0 $，又 ∵ $ n \neq 0 $，∴ $ n - m + 1 = 0 $，∴ $ m - n = 1 $. 故选 A.
19.「2024四川内江二模,」已知a是方程 $ x ^ { 2 } - 2 024 x + 1 = 0 $ 的一个根,则 $ a ^ { 3 } - 2 024 a ^ { 2 } - \frac { 2 024 } { a ^ { 2 } + 1 } = $
-2024
.
答案：答案 -2024
解析 ∵ $ a $ 是方程 $ x^{2}-2024x + 1 = 0 $ 的一个根，∴ 将 $ x = a $ 代入得 $ a^{2}-2024a + 1 = 0 $，∴ $ a^{2}-2024a = -1 $，$ a^{2}+1 = 2024a $，$ a - 2024+\frac{1}{a}=0 $，即 $ a+\frac{1}{a}=2024 $，∴ $ a^{3}-2024a^{2}-\frac{2024}{a^{2}+1}=a(a^{2}-2024a)-\frac{2024}{a^{2}+1}=-a-\frac{1}{a}=-(a+\frac{1}{a})=-2024 $.
20. 已知关于x的方程 $ ( m - 1 ) x ^ { m ^ { 2 } + 1 } + ( m - 2 ) x - 1 = 0 $,回答下列问题:
(1) 若方程是一元二次方程,求m的值.
(2) 若方程是一元一次方程,则是否存在这样的m值?若存在,请求出m的值,并把方程解出来.
答案：解析 (1) 根据题意，得 $ m^{2}+1 = 2 $，且 $ m - 1 \neq 0 $，解得 $ m = -1 $.
(2) 存在. 需分情况讨论：
① 当满足 $ m^{2}+1 = 1 $，且 $ m - 1 + m - 2 \neq 0 $ 时，解得 $ m = 0 $，则方程变为 $ -3x - 1 = 0 $，解得 $ x = -\frac{1}{3} $；
② 当满足 $ m - 1 = 0 $ 且 $ m - 2 \neq 0 $ 时，解得 $ m = 1 $，则方程变为 $ -x - 1 = 0 $，解得 $ x = -1 $.
21. 「2025江苏镇江期中」若关于x的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + 2 = 0 ( a \neq 0 ) $ 有一根为 $ x = 2 025 $,则一元二次方程 $ a ( x + 1 ) ^ { 2 } + b ( x + 1 ) + 2 = 0 $ 必有一根为 (
B
)
A. $ x = 2 023 $
B. $ x = 2 024 $
C. $ x = 2 025 $
D. $ x = 2 026 $
答案：B 把方程 $ a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+2 = 0 $ 看作关于 $ (x + 1) $ 的一元二次方程，∵ 关于 $ x $ 的一元二次方程 $ ax^{2}+bx + 2 = 0(a \neq 0) $ 有一根为 $ x = 2025 $，∴ 关于 $ (x + 1) $ 的一元二次方程 $ a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+2 = 0 $ 有一根为 $ x + 1 = 2025 $，解得 $ x = 2024 $，∴ 一元二次方程 $ a(x + 1)^{2}+b(x + 1)+2 = 0 $ 必有一根为 $ x = 2024 $. 故选 B.
22. 已知关于x的一元二次方程 $ a x ^ { 2 } + b x + c = 0 ( a \neq 0 ) $.
(1) 若 $ a + c = - b $,求证: $ x = 1 $ 必是该方程的一个根.
(2) 当a,b,c之间的关系是
$ a - b + c = 0 $
时,该方程必有一根是 $ x = - 1 $.
答案：解析 (1) 证明：∵ $ a + c = -b $，∴ $ a + b + c = 0 $.
当 $ x = 1 $ 时，$ ax^{2}+bx + c = a\cdot 1^{2}+b\cdot 1 + c = a + b + c = 0 $.
∴ $ x = 1 $ 必是方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 的一个根.
(2) $ a - b + c = 0 $. 详解：当 $ x = -1 $ 时，$ ax^{2}+bx + c = a\cdot (-1)^{2}+b\cdot (-1)+c = a - b + c $，∴ 当 $ a - b + c = 0 $ 时，方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $ 必有一根是 $ x = -1 $.
