解：$ (1)$得到的长方形的两边长分别为
$a + 4+2=a + 6，$$a + 4-2=a + 2，$
所以$S_{2}=(a + 6)(a + 2)=a^2+8a + 12$
$ (2)$同意。理由如下：
$S_{1}-S_{2}=(a + 4)(a + 4)-(a^2+8a + 12)$
$=a^2+8a + 16-a^2-8a - 12 = 4，$
所以无论$a$为何值，$S_{1}$与$S_{2}$的差都不变。
$ (3)$因为$S_{3}=(a + 4+4)(a + 4-3)$
$=(a + 8)(a + 1)=a^2+9a + 8，$
所以$S_{3}-S_{2}=a^2+9a + 8-(a^2+8a + 12)$
$=a^2+9a + 8-a^2-8a - 12=a - 4，$
所以当$a＞4$时，$S_{3}＞S_{2}；$
当$a = 4$时，$S_{3}=S_{2}；$
当$0<a<4$时，$S_{3}<S_{2}。$
