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 解：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

 可得$4 + 3＞x - 1，$$4 - 3＜x - 1。$

 解不等式$4 + 3＞x - 1，$

 $7＞x - 1，$

 $x＜8；$

 解不等式$4 - 3＜x - 1，$

 $1＜x - 1，$

 $x＞2。$

 所以$x$的取值范围是$2＜x＜8。$

$解：(1)证明：∵AE和BD相交于点O\ $

$∴∠AOD=∠BOE\ $

$在△AOD和△BOE中 ∠A=∠B\ $

$∴∠BEO=∠2 又∵∠1=∠2\ $

$∴∠1=∠BEO ∴∠AEC=∠BED\ $

$在△AEC和△BED中\ $

${{\begin{cases} {∠A=∠B } \\ {AE=BE} \\ {∠AEC =∠BED } \end{cases}}}\ $

$∴△AEC≌△BED(\mathrm {ASA})\ $

$(2)∵△AEC≌△BED\ $

$∴EC=ED，∠C=∠BDE\ $

$在△EDC中 ∵EC=ED，∠1=42°\ $

$∴∠C=∠EDC=69°\ $

$∴∠BDE=∠C=69°$

$(1)证明：∵∠B=∠APD=90°，$

$\ ∴∠BAP+∠APB=90°，∠APB+∠DPC=90°\ $

$∴∠BAP=∠DPC\ $

$在△BAP和△CPD中\ $

${{\begin{cases} {∠B=∠C } \\ {∠BAP=∠CPD } \\ {PA=PD} \end{cases}}}\ $

$∴△BAP≌△CPD(\mathrm {AAS})\ $

$∴BP=CD，AB=PC\ $

$∴BC=BP+PC=AB+CD\ $

$(2)解：如图，过点A作AE⊥BC于E，过点D作$

$DF⊥BC于F$

$由（1）可知，EF=AE+DF$

$∵∠B=∠C=45°，AE⊥BC，DF⊥BC$

$∴∠B=∠BAE=45°，∠C=∠CDF=45°$

$∴BE=AE，CF=DF$

$AB=\sqrt{2}AE$

$CD=\sqrt{2}DF$

$∴BC=BE+EF+CF=2 （AE+DF）$

$∴\frac {AB+CD}{BC}=\frac {\sqrt{2}(AE+DF)}{2(AE+DF)}=\frac {\sqrt{2}}{2}$