第11页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

解：$(1)BE⊥DG，$证明如下：

如图①，延长$BE$交$DG $于点$H，$

设$AD，$$BE$交于点$O$

∵四边形$ABCD$和四边形$AEFG $是正方形

∴$AE=AG，$$AB=AD，$$∠BAD=∠EAG=90°$

∴$∠BAE=∠DAG$

∴$∆ABE≌∆ADG(S AS)$

∴$BE=DG，$$∠ABE=∠ADG$

∵$∠ABO+∠BOA=90°，$$∠BOA=∠DOH$

∴$∠ADG+∠DOH=90°$

∴$∠GHB=90°，$∴$BE⊥DG$

$(2)$作$AH⊥DG $于点$H，$如图②

∵四边形$ABCD$和四边形$AEFG $都是正方形

∴$∠AGE=45°$

∴$GH=HA=\frac {\sqrt 2}2\ \mathrm {A}G=\frac {\sqrt 2}2×4=2\sqrt 2$

∵$∠AGE=45°，$∴$∠G AH=∠HAE=45°$

∵$∠DAE=15°$

∴$∠HAD=∠HAE+∠DAE=60°$

∴$HD=\sqrt 3\ \mathrm {A}H=2\sqrt 2×\sqrt 3=2\sqrt 6$

由$(1)$知$BE=DG$

∴$BE=DG=DH+GH=2\sqrt 6+2\sqrt 2$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD，$四边形$AGFE$是正方形

∴$AB=AD，$$AE=AG，$$∠DAB=∠EAG=90°$

∴$∠EAB=∠G AD$

在$∆AEB$和$∆AG D$中

$\begin {cases}{AE=AG}\\{∠EAB=∠G AD}\\{AB=AD}\end {cases}$

∴$∆EAB≌∆G AD(S AS)$

$(2)$证明：设$AE$与$DG $的交点为$M$

∵$∆EAB≌G AD，$∴$∠AEB=∠AG D$

∵$∠AMG=∠HME$

∴$∠HEM+∠HME=∠AGM+∠AMG$

$=180°-∠G AM=90°$

∴$∠MHE=90°，$∴$BE⊥DG$

$(3)$解：∵$∆EAB≌∆G AD，$∴$EB=G D$

∵四边形$ABCD$是正方形，$AB=3\sqrt 2$

∴$BD⊥AC，$$AC=BD=\sqrt 2\ \mathrm {A}B=6$

∴$∠DOG=90°，$$OA=OD=\frac 12BD=3$

∵$AG=3，$∴$OG=OA+AG=6$

∴$G D=\sqrt {OD^2+OG^2}= \sqrt {3^2+6^2}=3\sqrt 5$

∴$EB=3\sqrt 5$

$(4)$证明：连接$EG，$$DE，$如图

∵四边形$AGFE，$四边形$ABCD$是正方形

∴$∠OAD=∠AGE=45°，$$EG=\sqrt 2\ \mathrm {A}G，$$AD=\sqrt 2\ \mathrm {A}O$

∴$EG//AD$

∵$A$是$OG $的中点，∴$AG=AO$

∴$EG=AD$

∴四边形$AGED$是平行四边形

∴$AE，$$DG $互相平分