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直角
长方形
平行
平行
互相平分且相等
直角
中心

B
D
D
6
45
解:∵四边形​$ABCD$​是矩形,∴​$∠A=∠D=90°$​
∵​$EF⊥CE,$​∴​$∠FEC=90°$​
∴​$∠AEF+∠DEC=90°$​
又∵​$∠ECD+∠DEC=90°$​
∴​$∠AEF=∠ECD$​
​$ $​在​$∆AEF $​和​$∆DCE$​中
​$\begin {cases}{∠F AE=∠EDC}\\{∠AEF=∠DCE}\\{EF=CE}\end {cases}$​
∴​$∆AEF≌∆DCE(\mathrm {AAS})$​
∴​$AE=CD$​
∵矩形​$ABCD$​的周长为​$32\ \mathrm {cm}$​
∴​$2(AE+ED+DC)=32,$​即​$2(2AE+4)=32$​
​$ $​解得​$AE=6,$​即​$AE$​的长为​$6\ \mathrm {cm}$​
​$(1)$​证明:在矩形​$ABCD$​中,​$∠D=90°,$​​$DC//AB$​
∴​$∠BAN=∠AMD$​
∵​$BN⊥AM,$​∴​$∠BNA=90°$​
​$ $​在​$△ABN$​和​$∆MAD$​中
​$\begin {cases}{∠BAN=∠AMD}\\{∠BNA=∠ADM}\\{AB=MA}\end {cases}$​
∴​$∆ABN≌∆MAD(\mathrm {AAS})$​
∴​$AN=DM$​
​$(2)$​解:∵​$∆ABN≌∆MAD,$​∴​$BN=AD$​
∵​$AD=3,$​∴​$BN=3$​
|∵​$BN⊥AM,$​​$AN=4$​
∴​$AB= \sqrt {AN^2+BN^2}= \sqrt {4^2+3^2}=5$​
∴​$S_{矩形ABCD}=A· AB=3×5=15$​