第170页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

解：$(1)$∵$OD_{1}//AC，$∴$∠A=∠AOD_{1}=30°$

∵将三角尺$DOE$绕点$O$顺时针方向旋转$α(0°＜α＜90°)$

度到$D_{1}OE_{1}$位置

∴$∠AOD_{1}=α=30°$

$(2)$四边形$OHE_{2}G $是正方形，理由如下：

∵$∠E_{2}OD_{2}=90°，$$OD_{2}=OE_{2}，$$G $是$E_{2}D_{2}$的中点

∴$E_{2}G=OG，$$E_{2}G⊥OG$

∵$OD_{1}//AC$

∴$∠G OH=∠AHO=∠OG E_{2}=∠G E_{2}H=90°$

∴四边形$OHE_{2}G $是矩形

又∵$E_{2}G=OG，$∴四边形$OHE_{2}G $是正方形

解：$(1)$四边形$ACEF $是平行四边形，理由如下：

∵$DE$垂直平分$BC，$∴$D$为$BC$的中点，$ED⊥BC$

又∵$∠ACB=90°，$∴$AC⊥BC，$∴$ED//AC$

∴$∠AEF=∠EAC，$$ED$是$∆ABC$的中位线

∴$E$为$AB$的中点

∴在$Rt△ABC$中，$CE$是斜边$AB$的中线

∴$CE=AE=AF$

∴$∠F=∠AEF=∠EAC=∠ACE$

∴$∠F AE=∠AEC，$∴$AF//EC$

∴四边形$ACEF $是平行四边形

$(2)$当$∠B=30°$时，四边形$ACEF $为菱形，理由如下：

∵$∠ACB=90°，$$∠B=30°，$∴$AC=\frac 12\ \mathrm {A}B$

由$(1)$知$CE=\frac 12\ \mathrm {A}B，$∴$AC=CE$

又∵四边形$ACEF $为平行四边形

∴四边形$ACEF $为菱形

$(3)$四边形$ACEF $不可能是正方形，理由如下：

∵$∠ACB=90°，$$∠ACE＜ACB$

∴$∠ACE＜90°，$不能为直角

∴四边形$ACEF $不可能是正方形

$(1)$证明：∵折叠纸片使点$B$落在边$AD$上的点$E$处，折$ $痕为$PQ$

∴点$B$与点$E$关于$PQ $对称

∴$P B=PE，$$BF=EF，$$∠BPF=∠EPF$

又∵$EF//AB，$∴$∠BPF=∠EFP$

∴$∠EPF=∠EFP，$∴$EP=EF$

∴$BP=BF=EF=EP$

∴四边形$BFEP $为菱形

$(2)$解：①∵四边形$ABCD$是矩形

∴$BC=AD=5\ \mathrm {cm}，$$CD=AB=3\ \mathrm {cm}，$$∠A=∠D=90°$

∵点$B$与点$E$关于$PQ $对称

∴$P B=PE，$$CE=BC=5\ \mathrm {cm}$

$ $在$Rt∆CDE$中，$DE=\sqrt {CE^2-CD^2}= \sqrt {5^2-3^2}=4(\mathrm {cm})$

∴$AE=AD-DE=5-4=1(\mathrm {cm})$

在$Rt∆APE$中，$AE=1\ \mathrm {cm}，$$AP=3-P B=3-PE$

∴$EP^2=1^2+(3-EP)^2$

解得$EP=\frac 53\ \mathrm {cm}$

∴菱形$BFEP $的边长为$\frac 53\ \mathrm {cm} $

$②$当点$Q $与点$C$重合时，点$E$离点$A$最近

由①知，此时$AE=1\ \mathrm {cm} $

当点$P $与点$A$重合时，点$E$离点$A$最远

此时四边形$ABQE$为正方形，$AE=AB=3\ \mathrm {cm}$

∴点$E$在边$AD$上移动的最大距离为$2\ \mathrm {cm}$