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$证明:连接​EG、​​EH、​​FG、​​FH,​$
$∵​E​为​AD​的中点,​H​为​AC​的中点,$
$∴​EH∥CD,​​EH=\frac {1}{2}CD,​$
$同理,​GF∥CD,​​GF=\frac {1}{2}CD,​$
$∴​EH∥GF,​​EH=GF,​$
$∴四边形​EGFH​为平行四边形,$
$∴​EF​与​GH​互相平分.$

$ 解:BC=2CF,理由如下:$
$∵D,E是AB,AC的中点$
$∴DE=\frac{1}{2}BC,DE//BF$
$∵EF//DC$
$∴四边形CDEF是平行四边形$
$∴DE=CF$
$∴BC=2CF$
$证明:​(1)​∵四边形​ABCD​是平行四边形,$
$∴​AB//CD,​$
$∴​∠GAE=∠HCF,​$
$∵点​G,​​H​分别是​AB,​​CD​的中点,$
$∴​AG=CH,​$
$∵​AE=CF,​$
$∴​△AGE≌△CHF(\mathrm {SAS}),​$
$∴​GE=HF,​​∠AEG=∠CFH,​$
$∴​∠GEF=∠HFE,​$
$∴​GE//HF,​$
$又∵​GE=HF,​$
$∴四边形​EGFH​是平行四边形.$
$​(2)​连接​BD​交​AC​于点​O,​$
$∵四边形​ABCD​是平行四边形,$
$∴​OA=OC,​​OB=OD,​$
$∵​BD=14,​$
$∴​OB=OD=7,​$
$∵​AE=CF,​​OA=OC,​$
$∴​OE=OF,​$
$∵​AE+CF=EF,​$
$∴​2AE=EF=2OE,​$
$∴​AE=OE,​$
$又∵点​G​是​AB​的中点,$
$∴​EG​是​△ABO​的中位线,$
$∴​EG=\frac {1}{2}OB=3.5.​$
$∴​EG ​的长为​3.5​$

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