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$证明：(1) ∵A F=C E$

$ ∴A E=A F-E F=C E-E F= C F$

$ ∵A B / / C D$

$ ∴\angle G A E=\angle H C F $

$ 又 ∵A G=C H$

$ ∴\triangle G A E ≌ \triangle H C F$

$ ∴\angle G E A=\angle H F C $

$ ∴\angle G E O=\angle H F O$

$ ∴E G / / F H $

$ (2) 连接 G F 、 H E$

$ ∵\triangle G A E ≌\triangle H C F$

$ ∴E G=F H $

$ 又 ∵E G / / F H$

$ ∴四边形 G F H E 为平行四边形$

$ ∴G H 、 E F 互相平分$

$解：由折叠的性质可得，∠EBD=∠DBC$

$ ∵AD//BC $

$ ∴∠EBD=∠EDB，即DE=BE$

$ 在Rt△ABE中，AE^2+AB^2=BE^2，即AE^2+4^2=(8-AE)^2$

$ ∴AE=3，BE=5$

$ ∴S_{△BED}=\frac 12×5×4=10$

$(1) 证明：如图， ∵E D 是 B C 的垂直平分线$

$ ∴E B=E C $

$ ∴\angle 3=\angle 4$

$ ∵\angle A C B=90° ，ED⊥BC，$

$∴ED是△BAC的中位线，即CE是Rt△ACB的中线，$

$∴EC=EA，$

$ ∴\angle 1=\angle 2 $

$ ∴A E=C E $

$ 又 ∵A F=C E $

$ ∴\angle F=\angle 5$

$ ∵F D \perp B C ， A C \perp B C $

$ ∴\angle 1=\angle 5$

$ ∴\angle 1=\angle 2=\angle F=\angle 5 $

$ ∴\angle A E C=\angle E A F$

$ ∴A F / / C E$

$ ∴四边形 A C E F 是平行四边形$

$ (2)解：当 \angle B=30° 时，四边形 A C E F 是菱形$

$ 证明： ∵\angle B=30°， \angle A C B=90°$

$ ∴\angle 1=\angle 2=60°$

$ ∴\angle A E C=60°$

$ ∴A C=E C$

$ ∴平行四边形 A C E F 是菱形$

$ (3) 四边形 A C E F 不可能是矩形，理由如下：$

$ 由 (1) 可知， \angle 2 与 \angle 4 互余， \angle 4 \neq 0°$

$ ∴\angle 2 \neq 90°$

$ ∴四边形 A C E F 不可能是矩形$

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