解$：(1)$空载的质量$m_{空载}=22\ \mathrm {t}=2.2×10^4\ \mathrm {kg}，$蛟龙号空载漂浮在水面$，$根据物体的浮沉条件可得其受到的浮力$F_{浮}=G_{空载}=m_{空裁}g=2.2×10^4\ \mathrm {kg}×10\ \mathrm {N/kg}=2.2×10^5\ \mathrm {N}$
$(2)$蛟龙号某次满载下沉时受到的浮力$F_{浮}'=G_{排}=ρ_{海水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×70\ \mathrm {m^3}=7×10^5\ \mathrm {N}；$满载总重力$G_{满}=m_{满}g=(2.2×10^4\ \mathrm {kg}+200\ \mathrm {kg})×10\ \mathrm {N/kg}=2.22×10^5\ \mathrm {N}，$注入海水的最小重力$G_{注水}=F_{浮}'−G_{满}=7×10^5\ \mathrm {N}−2.22×10^5\ \mathrm {N}=4.78×10^5\ \mathrm {N}，$则由$G=mg=ρgV $可得注入海水的体积$V_{注水}=\frac {G_{注水}}{ρ_{海水}g}=\frac {4.78×10^5\ \mathrm {N}}{1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=47.8\ \mathrm {m^3}$
