第30页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

$4 \sqrt {2}$

解：$(1)①$由题意得$AD=CD=AB=4$，$DE= DG= EF$，

$∠ADC = ∠BCD =∠EDG =∠DEF=90°$，$∠ACB=∠ACD=45°$

∴$∠ADC=∠CDE = ∠EDG -∠CDE$，即$∠ADE=∠CDG$

∴$△ADE≌△CDG(\mathrm {SAS}).$

$②CE+CG $的值是定值

由$(1)①$，得$△ADE≌△CDG$，∴$AE=CG$

∴$CE+CG=CE+AE=AC$

在$Rt△ACD$中，由勾股定理，得$AC=\sqrt {AD²+CD²}=4 \sqrt {2}$

∴$CE+CG $的值是$4\sqrt {2} $

$③$过点$E$分别作$EP⊥BC$，$EQ⊥CD$，垂足分别为$P$，$Q$

则$∠EPC=∠EQD=∠EQC=90°$

由$(1)①$得$∠BCD=∠DEF=90°$，$∠ACB=∠ACD$，$DE=EF$

∴$CA $平分$∠BCD$，∴$EP=EQ$

∴四边形$EPCQ $是正方形，∴$∠PEQ=90°$

∴$∠PEQ-∠FEQ=∠DEF-∠FEQ$，即$∠PEF=∠QED$

∴$△PEF≌△QED(\mathrm {SAS})$，∴$∠EPF=∠EQD=90°$，即$PE⊥PF$

∴点$F $在直线$BC$上

解：$(1)$由题意，设点$A$的坐标为$(a$，$a+b)(a＞ 0)$

∵点$A$在反比例函数$y=\frac {2}{x}$的图像上

∴$a(a+b)=2$，即$a²+ab=2$

对于$y=x+b$，令$x=0$，得$y=b$；令$y=0$，得$x+b=0$，解得$x=-b$

∴点$B$的坐标为$(-b$，$0)$，点$C$的坐标为$(0$，$b)$，即$OB=OC=b$

∵$AD⊥x$轴，∴点$D$的坐标为$(a$，$0)$

∵$C$，$E$两点关于直线$AD$对称，∴点$E$的坐标为$(2a$，$b)$

∵点$E$在反比例函数$y=\frac {2}{x}$的图像上

∴$2ab=2$，即$ ab=1$

∴$a²=1$，即$a=1$，则$b=1$

$(2)$连接$CE$

由$(1)$，得$a=b=1$，∴点$A$的坐标为$(1$，$2)$，点$B$的坐标为$(-1$，$0)$，

点$C$的坐标为$(0$，$1)$，点$D$的坐标为$(1$，$0)$，点$E$的坐标为$(2$，$1)$

即线段$AD$，$CE$互相垂直平分，$AD=CE=2$

∴四边形$ACDE$是正方形

$(3)$连接$PB$，$BE$

由$(2)$得点$B$的坐标为$(-1$，$0)$，点$D$的坐标为$(1$，$0)$，点$E$的坐标为$(2$，$1)$

∴$B$，$D$两点关于$y$轴对称，即$PB=PD$

则$PD+PE=PB+PE≥BE$

∴当$P $是直线$BE$与$y$轴的交点时，$PD+PE$的值最小

设直线$ BE $的函数表达式为$y=kx+h$

∴$\begin {cases}{-k+h=0}\\{2k+h=1}\end {cases}$，解得$ \begin {cases}{k=\frac {1}{3}}\\{h=\frac {1}{3}}\end {cases}$

∴直线$BE$的函数表达式为$y=\frac {1}{3}x+\frac {1}{3}$

令$x=0$，得$y=\frac {1}{3}$

∴点$P $的坐标为$(0$，$\frac {1}{3}) $