证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形，$O$是对角线$BD$的中点
∴$AD//BC$，$BO=DO$，即$∠ADB=∠CBD$
又$∠BOE=∠DOF$，∴$△BOE≌△DOF(\mathrm {ASA})$
∵$OE=OF$，∴$BD$，$EF $互相平分
∴四边形$BEDF $是平行四边形
解：$(2)①$过点$D$作$DN⊥EC$于点$N$，则$∠DNC= ∠DNB=90°$
∵$DE=DC= \sqrt {10}$，$CE=2$，∴$EN=CN=1$
在$Rt△CDN$中，由勾股定理，得$DN= \sqrt {DC²-CN²}=3$
又$∠DBC=45°$，$∠DBC+∠BDN=90°$
∴$∠BDN=∠DBC=45°$，即$BN=DN=3$
∴$BE=BN-EN=2$
②∵$DN⊥EC$，$CG⊥DE$
∴$∠CEG+∠ECG=90°$，$∠DEN+∠EDN=90°$
∴$∠EDN=∠ECG$
∵$DE=DC$
∴$∠EDN=∠CDN$，即$∠ECG=∠CDN$
由$①$得$∠BDN=∠DBC=45°$，
且$∠DHC=∠DBC+∠BCH=45°+∠ECG$，
$∠CDB=∠BDN+∠CDN =45°+∠CDN$，
∴$∠CDB=∠DHC$，即$CD=CH$
