解：$(1) $由图乙可知，当开关$S_{1} $闭合、$S_{2} $接$a$时，电路为$R_{1} $的简单电路，此时$P_{2}=88\ \mathrm {W}$，则$R_{1}$的阻值$R_{1}=\frac {U^2}{P_{2}} \frac {(220\ \mathrm {V})^2}{88\ \mathrm {W}}=550\ \mathrm {Ω}$，当开关$S_{1} $断开、$S_{2} $接$a $时，$R_{1} $和$R_{2} $串联，此时$P_{1}=44\ \mathrm {W}$，电路中的总电阻$R=\frac {U^2}{P_{1}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{44\ \mathrm {W}}=1100\ \mathrm {Ω}$，所以$R_{2} $的阻值$R_{2}=R-R_{1}=1100\ \mathrm {Ω}-550\ \mathrm {Ω}=550\ \mathrm {Ω}.$
$(2) $由图乙可知，当开关$S_{1} $闭合、$S_{2}$接$b$时，$R_{1}$与$ R_{2}$并联，电路的功率$P_{3}=\frac {U^2}{R_{1}}+\frac {U^2}{R_{2}} \frac {(220\ \mathrm {V})^2}{550\ \mathrm {Ω}}+\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{550\ \mathrm {Ω}}=176\ \mathrm {W}.$
$(3) $马桶圈吸收的热量$Q_{吸}=cm∆t=0.44×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×650×10^{-3}\ \mathrm {kg}×8℃=2288\ \mathrm {J}$，由以上分析可知，$''$高温挡$''$加热功率$P_{高温}=P_{3}=176\ \mathrm {W}$，电热丝产生的热量全部被马桶圈吸收，则电热丝消耗的电能$W=Q_{吸}=2288\ \mathrm {J}$，用$''$高温挡$''$加热的方式需要的时间$t=\frac {W}{P_{高温}}=\frac {2288\ \mathrm {J}}{176\ \mathrm {W}}=13\ \mathrm {s}.$
