解：$(1) $由题意知，高温挡功率$P_{高}=48\ \mathrm {W}$，此时加热$ 10\ \mathrm {s} $产生的热量$Q=W=P_{高}\ \mathrm {t}=48\ \mathrm {W}×10\ \mathrm {s}=480\ \mathrm {J}.$
$(2) $由图甲可知，当开关接$ b$、$c $时，$R_{1}$、$R_{2} $串联，此时电路的总电阻较大，由$P=\frac {U^2}{R}$可知，总功率较小，为低温挡；当开关接$c$、$d$时，$R_{1}$被短路，电路为$R_{2} $的简单电路，为高温挡，$R_{2} $的阻值$ R_{2}=\frac {U^2}{P_{高}}=\frac {(12\ \mathrm {V})^2}{48\ \mathrm {W}}=3\ \mathrm {Ω}$，$R_{1}$、$R_{2} $的总电阻$R_{总}=\frac {U^2}{P_{低}}=\frac {(12\ \mathrm {V})^2}{18\ \mathrm {W}}=8\ \mathrm {Ω}$，则$R_{1}$的阻值$R_{1}=R_{总}-R_{2}=8\ \mathrm {Ω}-3\ \mathrm {Ω}=5\ \mathrm {Ω}.$
$(3) $由图乙可知，开关接$c$、$d$时，$R_{1}$、$R_{2}$并联，电路的总电阻最小，总功率最大，为高温挡，由并联电路的电流规律和欧姆定律可得，干路电流$I=\frac {U}{R_{1}}+\frac {U}{R_{2}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{5\ \mathrm {Ω}}+\frac {12\ \mathrm {V}}{3\ \mathrm {Ω}}=6.4\ \mathrm {A}$，此时电路中电流大于熔断器的熔断电流$5.0\ \mathrm {A}$，即高温挡工作时，熔断器会熔断，所以设计不合理.
