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$解:(1)△ABP是直角三角形理由:$

$∵O是AB的中点，$

$∴OA=OB=\frac{1}{2}\ \mathrm {AB}.$

$∵ OP=\frac{1}{2}\ \mathrm {AB}，$

$∴ OP=OA=OB.$

$∴∠OBP=∠OPB,∠OAP=∠APO.$

$∵∠OAP+∠APO+∠OBP+ ∠OPB = 180°,\ $

$∴ ∠APO + ∠OPB = 90°.$

$∴∠APB=90°.$

$∴△ABP是直角三角形$

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