第45页 - 通城学典课时作业本八年级数学人教版南通专版

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$证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴OB=OD.$

$∵DE//BF，\ $

$∴ ∠ODE = ∠OBF.\ $

$在△DOE 和△BOF 中，$

$\begin{cases}{∠ODE=∠OBF,\ }\\{OD=OB，\ }\\{∠DOE=∠BOF,\ }\end{cases}$

$∴ △DOE≌△BOF.\ $

$∴ OE=OF.\ $

$又∵OB=OD,$

$∴四边形DEBF是平行四边形$

$解:(2)∵AD⊥BD,$

$∴ ∠ADB=90°$

$∵ AD=3,AB=5,\ $

$∴ BD=\sqrt{AB²-AD²}=\sqrt{5²-3²}=4.$

$∵四边形ABCD是平行四边形，$

$∴OA=OC,OB=OD=\frac{1}{2}BD=2.$

$在Rt△AOD中，由勾股定理，$

$得OA=\sqrt{AD²+OD²}=\sqrt{3²+2²}= \sqrt{13}$

$∴AC=2OA=2\sqrt{13}，$

$即AC的长为2\sqrt{13}$

$证明： (1) ∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴∠D=∠ABC，DC//AB$

$∵将▱ABCD沿过点A的直线l折叠，$

$使点D落到边AB上的点D'处$

$∴∠D=∠AD'E$

$∴∠AD'E=∠ABC$

$∴ED'//CB$

$∵EC//D'B$

$∴四边形BCED'是平行四边形$

$解:(2)∵ BE平分∠ABC$

$∴∠CBE=∠EBA$

$∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AD//BC$

$∴∠BAD+∠ABC=180°$

$由折叠，可知∠DAE=∠EAB$

$∴∠EAB +∠EBA=\frac 12∠BAD+\frac 12∠ABC=\frac 12(∠BAD+∠ABC) = 90°$

$∴∠AEB=90°$

$∴AB^2=AE^2+ BE^2$

$证明： (1) ∵ AE⊥BD，CF⊥BD$

$∴∠AEB=∠NFB=90°$

$∴ AM//CN$

$∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴CM//AN$

$∴四边形CMAN是平行四边形$

$解:(2) ∵四边形ABCD是平行四边形$

$∴AD= BC，AD//BC$

$∴∠ADE=∠CBF$

$∵AE⊥BD，CF⊥ BD$

$∴∠AED=∠CFB =90°$

$在△ADE和△CBF中$

$\begin{cases}∠ ADE=∠CBF\\∠AED=∠CFB\\AD=CB\end{cases}$

$∴△ADE≌△CBF$

$∴ DE=BF=8$

$在Rt△BFN中，∵BF=8，FN=6$

$∴由勾股定理，得BN=\sqrt{BF^2+FN^2}=10$