$解:(2) ①因为 Q(\frac {4}{5}， 0)， $
$所以 C Q=\frac {4}{5}-(-2)=\frac {14}{5}，$
$所以将抛物线 y=\frac {1}{2} x^2 向左平移 \frac {14}{5} 个单位长度时， A^{\prime}\ \mathrm {C}+C B^{\prime} 的值最小，$
$此时抛物线的函数表达式为 y=\frac {1}{2}(x+\frac {14}{5})^2.$
$②因为线段 A^{\prime}\ \mathrm {B}^{\prime} 和 C D 的长是定值，$
$所以要使四边形 A^{\prime}\ \mathrm {B}^{\prime}\ \mathrm {C}\ \mathrm {D} 的周长最小， 只需使 A^{\prime}\ \mathrm {D}+C B^{\prime} 的 值最小.$
$第一种情况： 如果将抛物线向右平移，那么显然有 A^{\prime}\ \mathrm {D}+C B^{\prime}\gt A D+C B，$
$因此不存在某个位置，使四边形 A^{\prime}\ \mathrm {B}^{\prime}\ \mathrm {C}\ \mathrm {D} 的周长最小.$
$第二种情 况： 如图， 设将抛物线向左平移 b 个单位长度， 则$
$点 A^{\prime} 和点 B^{\prime} 的坐标分别为 (-4-b， 8) 和 (2-b， 2).$
$因为 C D=2，$
$所以可将点 B^{\prime} 向左平移 2 个单 位长度得点 B^{\prime \prime}(-b， 2)，$
$易知 D B^{\prime \prime}=CB^{\prime}，$
$则要使 A^{\prime}\ \mathrm {D}+C B^{\prime} 的值最小，只需使 A^{\prime}\ \mathrm {D}+DB^{\prime \prime} 的值最小.$
$设点 A^{\prime} 关于 x 轴对称的点为 A^{\prime \prime}， 则点 A'' 的坐标为 (-4-b，-8).$
$设直线 A''B'' 的函数表达式为 y=p x+q.$
$把点 A^{\prime \prime}(-4-b，-8)， B''(-b，2)分别代入 y=p x+q， 得$
$\{\begin{array}{l}(-4-b)\ \mathrm {p}+q=-8， \\ -b p+q=2，\end{array}.$
$解得 \{\begin{array}{l}p=\frac {5}{2} \\ q=\frac {5}{2}\ \mathrm {b}+2\end{array}.$
$所以直线 A^{\prime \prime}\ \mathrm {B}^{\prime \prime} 的函数表达式为 y=\frac {5}{2} x+\frac {5}{2}\ \mathrm {b}+2.$
$要使 A^{\prime}\ \mathrm {D}+D B^{\prime \prime} 的值最小， 点 D 应 在直线 A^{\prime \prime}\ \mathrm {B}^{\prime \prime} 上.$
$把点 D(-4，0) 代入 y=\frac {5}{2} x+\frac {5}{2}\ \mathrm {b}+2， 得$
$\frac {5}{2} \times(-4)+\frac {5}{2}\ \mathrm {b}+2=0， 解得 b=\frac {16}{5}.$
$故当抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形 A^{\prime}\ \mathrm {B}^{\prime}\ \mathrm {C}\ \mathrm {D} 的周长最小，$
$此时抛物线的函数表达式 为 y=\frac {1}{2}(x+\frac {16}{5})^2.$
