解：$(1)$当闭合$S_1$、$S_2$时，$R_1$、$R_2$并联，所以$U=U_1=U_2=220\ \mathrm {V}$，
取暖器工作时通过$R_1$的电流：
$I_I=\frac {U_1}{R_1}=\frac {220\ \mathrm {V}}{55\ \mathrm {Ω}}=4\ \mathrm {A}$；
$(2)$当只闭合$S_1$时，只有$R_1$工作，当闭合$S_1$、$S_2$时，$R_1$、$R_2$并联，
根据并联电路的电阻特点可知，并联的总电阻小于任一分电阻，
电压是一定的，根据$P=\frac {U^2}{R}$可知，当只闭合$S_1$时，只有$R_1$工作，电路中的电阻最大，
电功率最小，电热取暖器处于低温挡，取暖器处于低温挡时，工作$1 \mathrm {\mathrm {min}}$产生的热量：
$Q=I^2R_1\ \mathrm {t}=(4\ \mathrm {A})^2×55\ \mathrm {Ω}×1×60\ \mathrm {s}=5.28×10^4\ \mathrm {J}$；
$(3)$低温挡的额定功率：$P_{低}=\frac {U^2}{R_1}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{55\ \mathrm {Ω}}=880\ \mathrm {W}$，
当闭合$S_1$、$S_2$时，$R_1$、$R_2$并联，电路中的电阻最小，电功率最大，电热取暖器处于高温挡；
$R_2$的电功率：$P_2=P_{高}-P_{低}=1320\ \mathrm {W}-880\ \mathrm {W}=440\ \mathrm {W}$；
由$P=UI $可知，通过电阻$R_2$的电流：$I_2=\frac {P_2}{U}=\frac {440\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}=2\ \mathrm {A}$；
$R_2$的阻值：
$R_2=\frac {U_2}{I_2}=\frac {220\ \mathrm {V}}{2\ \mathrm {A}}=110\ \mathrm {Ω}.$
